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Les solides géométriques
Un solide est une figure en trois dimensions. On distingue les polyèdres, à faces planes (cube, prisme, pyramide), et les solides de révolution, à surface courbe (cylindre, cône, sphère).
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Boîtes, canettes, ballons, cornets de glace, tentes, pyramides d’Égypte : les objets qui nous entourent ont presque tous la forme d’un solide géométrique simple ou d’un assemblage de solides. Les reconnaître permet de calculer leur volume (contenance) et leur surface (quantité de matière pour les fabriquer).
Les grandes familles
| Famille | Solides | Caractéristique |
|---|---|---|
| Prismes droits | Cube, pavé droit, prisme à base triangulaire, hexagonale… | Deux bases polygonales identiques et parallèles, faces latérales rectangulaires |
| Pyramides | Pyramide à base carrée, tétraèdre… | Une base polygonale, faces latérales triangulaires réunies en un sommet |
| Polyèdres réguliers | Les 5 solides de Platon | Faces identiques régulières, même nombre de faces à chaque sommet |
| Solides de révolution | Cylindre, cône, sphère, tore | Au moins une surface courbe |
Faces, arêtes et sommets
| Solide | Faces (F) | Arêtes (A) | Sommets (S) |
|---|---|---|---|
| Cube | 6 | 12 | 8 |
| Pavé droit | 6 | 12 | 8 |
| Prisme à base triangulaire | 5 | 9 | 6 |
| Prisme à base hexagonale | 8 | 18 | 12 |
| Pyramide à base carrée | 5 | 8 | 5 |
| Tétraèdre | 4 | 6 | 4 |
| Octaèdre | 8 | 12 | 6 |
Pour un prisme dont la base a n côtés : F = n + 2, A = 3n, S = 2n. Pour une pyramide à base de n côtés : F = n + 1, A = 2n, S = n + 1.
La relation d’Euler
Pour tout polyèdre convexe :
S − A + F = 2
Cette relation, publiée par Leonhard Euler en 1758, est l’un des premiers résultats de la topologie : elle ne dépend pas des longueurs, seulement de la manière dont les faces sont assemblées.
Les formules de volume
| Solide | Volume |
|---|---|
| Cube d’arête a | V = a³ |
| Pavé droit | V = L × l × h |
| Prisme droit | V = aire de la base × hauteur |
| Cylindre | V = π × r² × h |
| Pyramide | V = aire de la base × hauteur / 3 |
| Cône | V = π × r² × h / 3 |
| Boule | V = 4/3 × π × r³ |
Deux règles résument presque tout : les solides « droits » (prisme, cylindre) ont pour volume base × hauteur ; les solides « pointus » (pyramide, cône) ont pour volume le tiers de ce produit. Le détail figure dans chaque fiche : cube et pavé droit, cylindre, cône et pyramide, sphère et boule.
Le patron d’un solide
Le patron est la figure plane qu’on peut découper et plier pour fabriquer le solide, sans chevauchement. Son aire est l'aire totale (surface) du solide.
- Le cube a 11 patrons différents (à rotation et retournement près).
- Le patron d’un cylindre est formé de deux disques et d’un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque.
- Le patron d’un cône est formé d’un disque et d’un secteur circulaire.
- La sphère n’a pas de patron : on ne peut pas l’aplatir sans la déformer, ce qui explique les distorsions des projections cartographiques.
Unités
Les volumes s’expriment en unités cubes : cm³, m³. Correspondances utiles : 1 dm³ = 1 L et 1 m³ = 1 000 L. Voir la conversion des unités d’aire et de volume.
Sections planes
Couper un solide par un plan donne une figure plane appelée section :
| Solide | Section parallèle à la base | Autre section |
|---|---|---|
| Cube, pavé | Rectangle de même dimension que la base | Rectangle, triangle, hexagone selon l’inclinaison |
| Cylindre | Disque identique à la base | Rectangle (plan parallèle à l’axe), ellipse (plan oblique) |
| Pyramide, cône | Réduction de la base | Triangle (cône coupé par un plan passant par le sommet) |
| Sphère | Cercle | Toujours un cercle |
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un polyèdre et un solide de révolution ?
Un polyèdre n’a que des faces planes. Un solide de révolution a au moins une surface courbe et peut être obtenu en faisant tourner une figure plane autour d’un axe.
Combien d’arêtes a un cube ?
12 arêtes, 6 faces carrées et 8 sommets.
Une sphère a-t-elle des faces ?
Non : elle n’a ni face plane, ni arête, ni sommet. Elle n’est pas un polyèdre.
Pourquoi le volume d’une pyramide est-il le tiers de celui d’un prisme ?
Un prisme à base triangulaire peut être découpé en trois pyramides de même volume. Le résultat se généralise à toutes les pyramides et aux cônes.