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La convexité d’une fonction
Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est au-dessus de ses tangentes, concave dans le cas inverse. Pour une fonction deux fois dérivable, elle est convexe quand sa dérivée seconde est positive.
Mis à jour le 4 min de lecture
La convexité décrit la courbure d’une fonction : une courbe convexe est « tournée vers le haut », comme un bol ; une courbe concave est « tournée vers le bas », comme une voûte. Au-delà de l’aspect graphique, la convexité fournit des inégalités très utiles et joue un rôle majeur en optimisation, en économie (rendements décroissants) et en probabilités. Elle est au programme de terminale en France.
Les fonctions de référence
| Fonction | Convexité |
|---|---|
x² | Convexe sur ℝ |
eˣ | Convexe sur ℝ |
ln x | Concave sur ]0 ; +∞[ |
√x | Concave sur [0 ; +∞[ |
1/x | Concave sur ]−∞ ; 0[, convexe sur ]0 ; +∞[ |
x³ | Concave sur ]−∞ ; 0], convexe sur [0 ; +∞[ |
| Fonction affine | À la fois convexe et concave |
Le critère de la dérivée
Pour une fonction f dérivable sur I :
| Condition | Conclusion |
|---|---|
| f′ croissante sur I | f convexe sur I |
| f′ décroissante sur I | f concave sur I |
f″(x) ≥ 0 sur I (f deux fois dérivable) | f convexe sur I |
f″(x) ≤ 0 sur I | f concave sur I |
Intuition : si la pente f′ augmente, la courbe se redresse de plus en plus, elle « tourne vers le haut ». f″ est la dérivée seconde, dérivée de f′ (voir les dérivées).
Le point d’inflexion
Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction change de convexité. Si f est deux fois dérivable, f″ s’annule en changeant de signe en ce point.
- Dans l’exemple f, le point d’abscisse 1, de coordonnées (1 ; 0), est un point d’inflexion.
- Pour
x³, l’origine est un point d’inflexion à tangente horizontale (voir la fonction cube). x⁴a une dérivée seconde12x²nulle en 0, mais sans changement de signe : pas de point d’inflexion.
Concrètement, un point d’inflexion marque le moment où une croissance ralentit après avoir accéléré (ou l’inverse). Dans une épidémie modélisée par une courbe logistique, c’est le pic du nombre de nouveaux cas par jour.
Les inégalités de convexité
La position par rapport à la tangente donne des inégalités valables pour tout x (voir l'équation de la tangente) :
| Inégalité | Origine |
|---|---|
eˣ ≥ 1 + x pour tout réel x | exp convexe, tangente en 0 : y = x + 1 |
ln x ≤ x − 1 pour tout x > 0 | ln concave, tangente en 1 : y = x − 1 |
sin x ≤ x pour x ≥ 0 | sin concave sur [0 ; π], tangente en 0 |
√x ≤ (x + 1)/2 pour x ≥ 0 | √ concave, tangente en 1 |
Et la position par rapport aux cordes donne l'inégalité des moyennes : pour f convexe, f((a + b)/2) ≤ (f(a) + f(b))/2. Avec f = −ln (convexe), on obtient √(ab) ≤ (a + b)/2 : la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique.
Convexité et optimisation
Une fonction convexe dérivable a une propriété précieuse : si f′(a) = 0, alors f admet en a un minimum global. Il n’y a pas de « faux minimum » local. C’est pourquoi l’optimisation convexe est l’un des domaines les mieux maîtrisés des mathématiques appliquées (logistique, finance, apprentissage automatique).
Erreurs fréquentes
- Confondre convexité et croissance :
x²est convexe mais décroissante sur ]−∞ ; 0]. - Voir un point d’inflexion dès que f″ s’annule : il faut un changement de signe.
- Inverser cordes et tangentes : convexe = au-dessus des tangentes, en dessous des cordes.
- Utiliser f′ au lieu de f″ pour étudier la convexité : le signe de f′ donne les variations, celui de f″ la convexité.
Questions fréquentes
Comment savoir si une fonction est convexe ?
On calcule la dérivée seconde : si f″(x) ≥ 0 sur l’intervalle, f est convexe ; si f″(x) ≤ 0, elle est concave. On peut aussi étudier les variations de f′.
Qu’est-ce qu’un point d’inflexion ?
Un point où la courbe traverse sa tangente et change de convexité. Pour une fonction deux fois dérivable, f″ s’y annule en changeant de signe.
Une fonction peut-elle être convexe et décroissante ?
Oui : e⁻ˣ est décroissante et convexe sur ℝ. Convexité et sens de variation sont indépendants.
Quelle est la différence entre convexe et concave ?
Une courbe convexe a la forme d’un creux (∪), au-dessus de ses tangentes ; une courbe concave a la forme d’une bosse (∩), en dessous de ses tangentes.