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Le cône et la pyramide
Le volume d’une pyramide ou d’un cône vaut le tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur : V = B × h / 3. Pour un cône de rayon r, cela donne π × r² × h / 3.
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Le cône et la pyramide sont les deux solides « à pointe » : une base, un sommet, et des surfaces qui les relient. Cornets de glace, entonnoirs, tas de sable, toits, tentes et pyramides d’Égypte en sont des exemples. Leur volume obéit à une même règle, découverte dans l’Antiquité : c’est le tiers du volume du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.
Les formules de volume
| Solide | Volume |
|---|---|
| Pyramide (aire de base B) | V = B × h / 3 |
| Pyramide à base carrée de côté a | V = a² × h / 3 |
| Pyramide à base rectangulaire | V = L × l × h / 3 |
| Cône de rayon r | V = π × r² × h / 3 |
| Tronc de cône (rayons R et r) | V = π × h × (R² + R × r + r²) / 3 |
| Tronc de pyramide (bases B et b) | V = h × (B + √(B × b) + b) / 3 |
Pourquoi « divisé par 3 » ? Un cube peut être découpé en trois pyramides identiques à base carrée ayant un sommet commun ; un prisme triangulaire en trois pyramides de même volume. Euclide le démontre dans ses Éléments ; le résultat est attribué à Eudoxe de Cnide.
Le cône : génératrice et aire
La génératrice g est le segment qui relie le sommet à un point du cercle de base. Par le théorème de Pythagore :
g = √(r² + h²)
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Aire latérale | A_lat = π × r × g |
| Aire totale | A = π × r × (r + g) |
| Angle du secteur du patron (en degrés) | 360 × r / g |
Le patron d’un cône est un disque (la base) et un secteur circulaire de rayon g dont l’arc mesure 2πr.
La pyramide : apothème et aire
Dans une pyramide régulière (base polygonale régulière, sommet à la verticale du centre), les faces latérales sont des triangles isocèles identiques. L'apothème est la hauteur de l’une de ces faces, issue du sommet.
Pour une pyramide régulière à base carrée de côté a et de hauteur h :
- apothème :
ap = √(h² + (a/2)²); - arête latérale :
√(h² + a²/2); - aire latérale :
4 × a × ap / 2 = 2 × a × ap; - aire totale :
a² + 2 × a × ap.
Le tétraèdre
La pyramide à base triangulaire s’appelle un tétraèdre : 4 faces triangulaires, 6 arêtes, 4 sommets. N’importe laquelle de ses faces peut servir de base. Le tétraèdre régulier, à quatre faces équilatérales, est l’un des solides de Platon. Pour une arête a, son volume vaut a³ / (6√2) ≈ 0,118 a³.
Section et réduction
Couper une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base donne une petite pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction de la grande, de rapport k = h′/h. Son volume vaut k³ fois le volume initial. La partie restante est un tronc. Voir l'homothétie.
Questions fréquentes
Comment calculer le volume d’un cône ?
On multiplie l’aire du disque de base (π × r²) par la hauteur, puis on divise par 3.
Quelle est la différence entre hauteur et génératrice d’un cône ?
La hauteur est verticale, du sommet au centre de la base. La génératrice est oblique, du sommet au bord de la base ; elle est toujours plus longue que la hauteur.
Combien de faces a une pyramide à base carrée ?
5 faces (1 carré et 4 triangles), 8 arêtes et 5 sommets.
Pourquoi le volume d’un cône est-il le tiers de celui du cylindre ?
C’est un résultat général pour tous les solides à pointe : il se démontre par découpage pour les pyramides, et par passage à la limite (ou intégrale) pour le cône. Voir le cylindre.