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La limite d’une suite
Une suite converge vers L si ses termes uₙ deviennent aussi proches de L qu’on veut quand n est assez grand. Sinon elle diverge, soit vers l’infini, soit sans limite (en oscillant).
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Que deviennent les termes d’une suite « à la longue » ? Un capital placé à intérêts composés grandit sans limite ; la quantité d’un médicament dans le sang, avec des prises régulières, se stabilise autour d’une valeur ; la suite 1/n s’approche de 0 sans jamais l’atteindre. L’étude des limites de suites est au programme de terminale en France et prépare celle des séries. Pour les définitions de base, voir les suites numériques.
Les trois comportements possibles
| Comportement | Exemple | Limite |
|---|---|---|
| Convergence | uₙ = 1/n | 0 |
| Divergence vers ±∞ | uₙ = n² | +∞ |
| Divergence sans limite | uₙ = (−1)ⁿ | Aucune (oscille entre −1 et 1) |
La limite, si elle existe, est unique.
Les limites de référence
| Suite | Limite |
|---|---|
n, n², √n, nᵏ (k > 0) | +∞ |
1/n, 1/n², 1/√n | 0 |
qⁿ avec q > 1 | +∞ |
qⁿ avec −1 < q < 1 | 0 |
qⁿ avec q = 1 | 1 |
qⁿ avec q ≤ −1 | Pas de limite |
La limite de qⁿ est essentielle pour les suites géométriques : 0,9ⁿ tend vers 0, 1,01ⁿ vers +∞, aussi lentement que ce soit au début.
Les opérations
Elles suivent les mêmes règles que pour les limites de fonctions, avec les mêmes formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0.
Les théorèmes de comparaison
Comparaison
Si uₙ ≥ vₙ à partir d’un certain rang et lim vₙ = +∞, alors lim uₙ = +∞. (Et de même vers −∞.)
Le théorème des gendarmes
Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ à partir d’un certain rang et si (vₙ) et (wₙ) convergent vers la même limite L, alors (uₙ) converge vers L.
Les suites monotones
Théorème de la limite monotone :
- toute suite croissante et majorée converge ;
- toute suite décroissante et minorée converge ;
- toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
Le théorème garantit l’existence de la limite sans la donner. Pour une suite uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue, la limite L vérifie f(L) = L (voir la continuité).
Suites célèbres et leurs limites
| Suite | Limite |
|---|---|
(1 + 1/n)ⁿ | e ≈ 2,718 (voir le nombre e) |
Fₙ₊₁ / Fₙ (Fibonacci) | φ ≈ 1,618 (voir le nombre d’or) |
1 + 1/2 + … + 1/n | +∞ (très lentement, comme ln n) |
1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n² | π²/6 |
Méthode de Héron uₙ₊₁ = (uₙ + 2/uₙ)/2 | √2 |
Erreurs fréquentes
- Croire qu’une suite croissante tend vers +∞ :
1 − 1/nest croissante et tend vers 1. - Croire qu’une suite bornée converge :
(−1)ⁿest bornée et diverge. - Penser que la limite est atteinte :
1/nn’est jamais égal à 0. - Oublier la condition sur q :
qⁿtend vers 0 seulement si −1 < q < 1.
Questions fréquentes
Comment savoir si une suite converge ?
On calcule la limite avec les opérations et les limites de référence, ou l’on montre qu’elle est monotone et bornée, ou l’on l’encadre par deux suites de même limite.
Une suite peut-elle avoir deux limites ?
Non, la limite d’une suite convergente est unique. Une suite comme (−1)ⁿ, qui s’approche alternativement de deux valeurs, n’a pas de limite.
Quelle est la limite de qⁿ ?
0 si −1 < q < 1 ; 1 si q = 1 ; +∞ si q > 1 ; pas de limite si q ≤ −1.
Que signifie « à partir d’un certain rang » ?
Qu’il existe un entier N au-delà duquel la propriété est vraie pour tous les termes. Les premiers termes, en nombre fini, n’influencent pas la limite.