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Le nombre d’or
Le nombre d’or, noté φ (phi), vaut (1 + √5) / 2 ≈ 1,618. C’est la proportion dans laquelle le rapport du tout à la grande partie égale celui de la grande partie à la petite.
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Depuis l’Antiquité grecque, une proportion particulière fascine mathématiciens, architectes et artistes : le nombre d’or. Il possède des propriétés algébriques et géométriques remarquables et apparaît dans la suite de Fibonacci, le pentagone régulier et certaines dispositions végétales. Il a aussi suscité beaucoup de légendes : sa présence dans les pyramides, le Parthénon ou le corps humain relève le plus souvent de l’interprétation après coup.
D’où vient la valeur 1,618 ?
On pose x = a / b. La condition (a + b) / a = a / b s’écrit 1 + 1/x = x, soit, en multipliant par x :
x² − x − 1 = 0
C’est une équation du second degré. Son discriminant vaut Δ = 1 + 4 = 5, et sa solution positive est :
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618
L’autre solution, (1 − √5) / 2 ≈ −0,618, est l’opposé de 1/φ.
Des propriétés uniques
| Propriété | Formule | Valeur |
|---|---|---|
| Son carré = lui-même + 1 | φ² = φ + 1 | 2,618… |
| Son inverse = lui-même − 1 | 1/φ = φ − 1 | 0,618… |
| Fraction continue la plus simple | φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/…)) | |
| Racines emboîtées | φ = √(1 + √(1 + √(1 + …))) |
φ et 1/φ ont exactement les mêmes décimales. Le nombre d’or est irrationnel : aucune fraction ne l’égale exactement. Sa fraction continue, composée uniquement de 1, fait de lui le nombre « le plus difficile » à approcher par des fractions.
Le nombre d’or et la suite de Fibonacci
La suite de Fibonacci commence par 1, 1, et chaque terme est la somme des deux précédents :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Le rapport entre deux termes consécutifs se rapproche de φ :
| Rapport | Valeur |
|---|---|
| 2 / 1 | 2 |
| 3 / 2 | 1,5 |
| 5 / 3 | 1,667 |
| 8 / 5 | 1,6 |
| 13 / 8 | 1,625 |
| 21 / 13 | 1,615 |
| 34 / 21 | 1,619 |
| 89 / 55 | 1,618 2 |
| 144 / 89 | 1,617 98 |
Les rapports oscillent autour de φ en s’en rapprochant toujours plus : la limite est exactement φ. La formule de Binet (1843, déjà connue d’Euler et de De Moivre) donne même directement le n-ième terme : Fₙ = (φⁿ − (−1/φ)ⁿ) / √5. Voir les suites numériques.
En géométrie
Le rectangle d’or
Un rectangle dont la longueur vaut φ fois la largeur. Si on en retire un carré, le rectangle restant est encore un rectangle d’or, et ainsi de suite indéfiniment. En reliant les coins des carrés successifs par des quarts de cercle, on obtient une spirale d’or (approximation d’une spirale logarithmique).
Le pentagone régulier et le pentagramme
Dans un pentagone régulier, le rapport entre une diagonale et un côté vaut exactement φ. Les diagonales se coupent selon la section dorée et dessinent une étoile à cinq branches (pentagramme), symbole de l’école de Pythagore. On a aussi cos 36° = φ / 2.
Les solides de Platon
Le dodécaèdre et l’icosaèdre réguliers ont des dimensions qui font intervenir φ : les sommets d’un icosaèdre se placent sur trois rectangles d’or perpendiculaires.
Dans la nature
La phyllotaxie, disposition des feuilles, des graines ou des écailles, fait souvent apparaître des nombres de Fibonacci : un capitule de tournesol présente fréquemment 34 et 55 (ou 55 et 89) spirales dans les deux sens ; les pommes de pin et les ananas aussi. Une explication est que les primordia (ébauches de feuilles) se placent successivement selon un angle proche de l'angle d’or, 360° / φ² ≈ 137,5°, ce qui assure un remplissage compact de l’espace.
D’autres affirmations courantes sont fausses ou exagérées : la coquille du nautile est une spirale logarithmique, mais son rapport de croissance n’est généralement pas le nombre d’or ; le corps humain ne suit pas une proportion dorée précise.
Dans l’art et l’architecture : mythes et réalités
| Affirmation | Ce qu’on sait |
|---|---|
| La grande pyramide de Khéops est construite sur φ | Certains rapports approchent φ, d’autres π ; aucun texte égyptien ne mentionne ce nombre |
| Le Parthénon suit le nombre d’or | Les mesures dépendent de ce qu’on mesure ; aucune preuve d’intention |
| Léonard de Vinci a utilisé le nombre d’or | Il a illustré De divina proportione de Luca Pacioli (1509), consacré à cette proportion ; son usage délibéré dans ses tableaux est discuté |
| Le Corbusier a utilisé le nombre d’or | Vrai : son système de mesure, le Modulor (1945-1948), repose explicitement sur φ |
| Salvador Dalí | La Cène (1955) est peinte sur une toile aux proportions d’un rectangle d’or |
Le nom même de « nombre d’or » est récent : l’expression « section d’or » (goldener Schnitt) apparaît en allemand au XIXe siècle, et la notation φ est proposée au début du XXe siècle (en hommage au sculpteur Phidias). Matila Ghyka a largement popularisé le thème en France dans les années 1930. Voir aussi Léonard de Vinci.
Questions fréquentes
Quelle est la valeur exacte du nombre d’or ?
φ = (1 + √5) / 2. Sa valeur décimale approchée est 1,618 033 988 7… Ses décimales sont infinies et non périodiques.
Pourquoi l’appelle-t-on « divine proportion » ?
C’est le titre du traité de Luca Pacioli, De divina proportione (1509). Pacioli y voyait une image de la perfection divine, notamment parce que la proportion est unique et irrationnelle.
Le nombre d’or est-il partout dans la nature ?
Non. Il apparaît réellement dans la disposition de certaines plantes (phyllotaxie), mais beaucoup d’exemples cités sont approximatifs ou inventés. Avec assez de mesures, on trouve toujours un rapport proche de 1,6.
Quel est le lien entre le nombre d’or et Fibonacci ?
Le rapport de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d’or. Plus les nombres sont grands, plus l’approximation est précise.