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Le théorème de Thalès
Si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, elles déterminent des triangles dont les côtés sont proportionnels : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
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Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs inaccessibles grâce à la proportionnalité. Il sert à mesurer la hauteur d’un arbre à partir de son ombre, à réaliser des agrandissements et des réductions, ou à partager un segment en parts égales. Avec le théorème de Pythagore, c’est l’un des deux grands théorèmes de géométrie du collège.
L’énoncé en détail
On considère deux droites qui se coupent en un point A. Sur la première, on place B et M ; sur la seconde, C et N. Si (MN) est parallèle à (BC), les triangles AMN et ABC ont leurs côtés proportionnels : le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC.
AM / AB = AN / AC = MN / BC
Chaque rapport compare un côté du petit triangle au côté correspondant du grand triangle. Pour ne pas se tromper :
- au numérateur, les côtés du même triangle (AMN) ;
- au dénominateur, les côtés correspondants de l’autre triangle (ABC) ;
- les côtés correspondants sont ceux qui sont sur la même droite, ou parallèles.
Deux configurations
| Configuration | Description | Position de A |
|---|---|---|
| Triangles emboîtés | M sur [AB], N sur [AC] : le petit triangle est dans le grand | A est un sommet commun, les points sont du même côté |
| Papillon (sablier) | M et N sont de l’autre côté de A par rapport à B et C | A est entre M et B, et entre N et C |
Le théorème s’applique de la même façon dans les deux cas.
Exemples de calcul
La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles
Si les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si
AM / AB = AN / AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
La condition d’ordre est indispensable : sans elle, les rapports peuvent être égaux sans que les droites soient parallèles (un point du « mauvais côté » de A).
La contraposée sert à démontrer que deux droites ne sont pas parallèles : si les rapports sont différents, elles ne le sont pas.
Comment rédiger une réponse
- Citer les données : « Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A. »
- Citer l’hypothèse de parallélisme : « Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. »
- Nommer le théorème : « D’après le théorème de Thalès : »
- Écrire l’égalité des trois rapports.
- Remplacer par les valeurs connues et calculer par produit en croix (voir les fractions).
- Conclure avec l’unité.
Le coefficient d’agrandissement ou de réduction
Le rapport commun k = AM / AB est le coefficient qui transforme ABC en AMN :
- si k < 1, AMN est une réduction de ABC ;
- si k > 1, c’est un agrandissement.
Les aires sont multipliées par k² et les volumes (pour des solides) par k³. Un triangle réduit de moitié (k = 0,5) a une aire divisée par 4. Voir les formules d’aires et de volumes.
Thalès et la pyramide
Thalès de Milet (VIe siècle av. J.-C.), considéré comme le premier philosophe et mathématicien grec, aurait mesuré la hauteur de la grande pyramide de Khéops en comparant son ombre à celle d’un bâton, à l’instant où l’ombre du bâton était égale à sa hauteur. L’anecdote est rapportée par des auteurs bien postérieurs (Diogène Laërce, Plutarque) et ne peut être vérifiée.
Le nom « théorème de Thalès » pour ce résultat est propre à la France et à quelques autres pays ; ailleurs, on parle de « théorème d’intercept » ou de théorème des proportions. Dans les pays anglophones et germanophones, le « théorème de Thalès » désigne un autre résultat : un triangle inscrit dans un cercle, dont un côté est un diamètre, est rectangle.
Lien avec la trigonométrie
Dans des triangles rectangles semblables, les rapports entre côtés ne dépendent que des angles. C’est cette constance, conséquence du théorème de Thalès, qui permet de définir le cosinus, le sinus et la tangente (voir la trigonométrie).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?
Le théorème part de droites parallèles pour en déduire des rapports égaux et calculer des longueurs. La réciproque part de rapports égaux (et d’un ordre des points identique) pour démontrer que des droites sont parallèles.
Quand utiliser Thalès plutôt que Pythagore ?
Thalès s’utilise dès qu’il y a des droites parallèles et deux triangles emboîtés ou en papillon. Pythagore s’utilise dans un seul triangle rectangle dont on connaît deux côtés.
Peut-on utiliser Thalès dans un triangle non rectangle ?
Oui : le théorème de Thalès s’applique à n’importe quel triangle, pourvu que les droites soient parallèles.
Comment retenir l’ordre des rapports ?
Écrire d’abord les trois côtés du petit triangle en haut (AM, AN, MN), puis en dessous les côtés correspondants du grand triangle (AB, AC, BC), en gardant le même ordre de sommets.