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La numération décimale
Notre numération est décimale et de position : dix chiffres suffisent, car la valeur d’un chiffre dépend de sa place. Chaque rang vaut dix fois le rang situé à sa droite.
Mis à jour le 4 min de lecture
Écrire 3 507 ou 1 000 000 ne demande que dix symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. C’est la force de la numération décimale de position, héritée de l’Inde et transmise par le monde arabe (voir l'origine des chiffres arabes). Elle est construite en cycle 2 (CP, CE1, CE2) et prolongée en CM1-CM2 jusqu’aux milliards et aux nombres à virgule.
Chiffre et nombre : ne pas confondre
Un chiffre est un symbole (il y en a dix) ; un nombre est une quantité, écrite avec un ou plusieurs chiffres. Le nombre 47 s’écrit avec les chiffres 4 et 7. Le chiffre 4 vaut ici 4 dizaines, soit 40.
Le tableau de numération
On range les chiffres par classes de trois rangs : unités simples, milliers, millions, milliards.
| Classe | Millions | Millions | Millions | Milliers | Milliers | Milliers | Unités | Unités | Unités |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Rang | c | d | u | c | d | u | c | d | u |
| Chiffre | 2 | 4 | 0 | 7 | 5 | 3 | 0 | 8 |
Ce nombre se lit « vingt-quatre millions soixante-quinze mille trois cent huit » et s’écrit 24 075 308, avec un espace entre chaque classe.
Chiffre des… et nombre de…
C’est la distinction la plus travaillée à l’école, et la plus souvent ratée.
- Le chiffre des centaines de 4 682 est 6 : c’est le chiffre placé au rang des centaines.
- Le nombre de centaines de 4 682 est 46 : on compte toutes les centaines contenues dans le nombre, y compris celles des milliers (4 milliers = 40 centaines).
| Pour 4 682 | Chiffre | Nombre |
|---|---|---|
| des unités | 2 | 4 682 |
| des dizaines | 8 | 468 |
| des centaines | 6 | 46 |
| des milliers | 4 | 4 |
Astuce : pour le nombre de dizaines, on « cache » le chiffre des unités ; pour le nombre de centaines, on cache les deux derniers chiffres.
Décomposer un nombre : méthode pas à pas
- Placer le nombre dans le tableau de numération, en partant de la droite.
- Lire la valeur de chaque chiffre selon son rang.
- Écrire la somme :
4 682 = 4 000 + 600 + 80 + 2. - Ou sous forme de produits :
4 682 = (4 × 1 000) + (6 × 100) + (8 × 10) + 2.
Le zéro marque un rang vide : dans 3 507, il n’y a aucune dizaine. Sans lui, on ne distinguerait pas 357 de 3 507 (voir l'histoire du zéro).
Écrire les nombres en lettres
Les règles utiles en primaire :
- Vingt et cent prennent un s quand ils sont multipliés et terminent le nombre :
quatre-vingts,trois cents, maisquatre-vingt-deux,trois cent dix. - Mille est invariable :
deux mille. - Million et milliard sont des noms et s’accordent :
deux millions. - Depuis les rectifications orthographiques de 1990, on peut relier tous les mots par des traits d’union :
trois-cent-deux. L’ancienne règle (traits d’union seulement sous cent, sauf avec et) reste admise.
La numération prolongée aux nombres à virgule
À droite des unités, chaque rang vaut dix fois moins : dixièmes, centièmes, millièmes. 12,05 = 12 + 0 dixième + 5 centièmes. La fiche nombres décimaux développe cette partie.
Erreurs fréquentes
- Confondre chiffre et nombre de centaines (6 et 46 pour 4 682).
- Oublier un zéro en écrivant sous la dictée : « deux mille trente » s’écrit
2 030, pas230. - Mal placer les espaces : on groupe les chiffres par trois à partir de la droite (
12 500, pas125 00). - Écrire « cents » devant un nombre :
deux cent un(cent n’est pas final).
Exercice corrigé
Soit le nombre 305 260.
- Chiffre des dizaines de mille ? 0.
- Nombre de centaines ? 3 052.
- Décomposition :
300 000 + 5 000 + 200 + 60. - En lettres : trois cent cinq mille deux cent soixante.
- Nombre de 1 000 de plus :
306 260.
Questions fréquentes
Pourquoi compte-t-on en base dix ?
Très probablement parce que nous avons dix doigts. D’autres bases ont existé : base 60 chez les Babyloniens (d’où nos 60 minutes), base 20 chez certains peuples, dont on garde une trace dans « quatre-vingts ».
Quelle est la différence entre le chiffre et le nombre des dizaines ?
Le chiffre des dizaines est un seul chiffre, celui du deuxième rang en partant de la droite. Le nombre de dizaines compte toutes les dizaines contenues dans le nombre : 4 682 contient 468 dizaines.
Combien y a-t-il de zéros dans un milliard ?
Neuf : 1 000 000 000. Un million en compte six et mille en compte trois.
Les chiffres romains sont-ils une numération de position ?
Non. Les chiffres romains sont additifs (et parfois soustractifs) : X vaut toujours dix, quelle que soit sa place. Ils n’ont pas de zéro, ce qui rend les calculs écrits très difficiles.