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Moyenne, médiane et écart-type
La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre ; la médiane partage la série en deux moitiés égales. L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Mis à jour le 5 min de lecture
Les statistiques descriptives résument une série de données (notes, salaires, températures, tailles) par quelques nombres. Deux familles d’indicateurs sont indispensables : les indicateurs de position (moyenne, médiane, mode), qui situent le « centre » de la série, et les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, écart-type), qui mesurent à quel point les valeurs sont regroupées ou étalées. Les utiliser à bon escient évite bien des contresens.
Les indicateurs en un coup d’œil
| Indicateur | Définition | Sensible aux valeurs extrêmes ? |
|---|---|---|
| Moyenne | Somme des valeurs / nombre de valeurs | Oui, beaucoup |
| Médiane | Valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés | Non |
| Mode | Valeur la plus fréquente | Non |
| Étendue | Plus grande valeur − plus petite | Oui, totalement |
| Quartiles Q1, Q3 | Valeurs qui laissent 25 % et 75 % des données en dessous | Non |
| Écart interquartile | Q3 − Q1 | Non |
| Écart-type | Écart « moyen » à la moyenne | Oui |
La moyenne
Moyenne simple (arithmétique)
moyenne = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
Moyenne pondérée
Quand les valeurs n’ont pas toutes la même importance (coefficients) ou apparaissent plusieurs fois (effectifs) :
moyenne = (x₁ × c₁ + x₂ × c₂ + … ) / (c₁ + c₂ + …)
La médiane
C’est la valeur qui partage la série rangée par ordre croissant en deux groupes de même effectif.
- Nombre impair de valeurs (n) : la médiane est la valeur de rang
(n + 1) / 2. - Nombre pair : par convention, la moyenne des deux valeurs centrales (rangs n/2 et n/2 + 1).
Moyenne ou médiane ?
La médiane résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne non.
C’est pourquoi on publie souvent le salaire médian ou le revenu médian plutôt que le salaire moyen : dans la plupart des pays, la moyenne est nettement supérieure à la médiane, tirée vers le haut par les très hauts revenus. Quand moyenne et médiane sont proches, la distribution est à peu près symétrique.
Le mode
C’est la valeur (ou la classe) la plus fréquente. Dans la série 2, 3, 3, 5, 7, 3, 8, le mode est 3. Il est utile pour les données non numériques (couleur préférée, pointure la plus vendue). Une série peut avoir plusieurs modes.
Quartiles et déciles
- Premier quartile Q1 : plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Troisième quartile Q3 : idem avec 75 %.
- Écart interquartile
Q3 − Q1: étendue des 50 % de valeurs centrales. - Déciles : D1 et D9 laissent 10 % et 90 % des données en dessous. Le rapport D9/D1 sert à mesurer les inégalités de revenus.
Ces indicateurs se représentent par une boîte à moustaches (diagramme en boîte).
L’écart-type et la variance
L’écart-type (noté σ, sigma) mesure la dispersion autour de la moyenne. On calcule d’abord la variance, moyenne des carrés des écarts à la moyenne, puis on en prend la racine carrée :
V = [(x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²] / n et σ = √V
En statistique inférentielle, pour estimer l’écart-type d’une population à partir d’un échantillon, on divise par n − 1 au lieu de n (écart-type corrigé). Les tableurs proposent une fonction pour chacun des deux calculs.
La loi normale et la règle 68-95-99,7
Beaucoup de grandeurs (taille, erreurs de mesure) suivent approximativement une loi normale, en forme de cloche (courbe de Gauss). Dans ce cas :
| Intervalle | Part des valeurs |
|---|---|
| moyenne ± 1 écart-type | ≈ 68 % |
| moyenne ± 2 écarts-types | ≈ 95 % |
| moyenne ± 3 écarts-types | ≈ 99,7 % |
Cette règle sert aussi à exprimer les marges d’erreur des sondages et des mesures (voir la méthode scientifique).
Les pièges statistiques
- Corrélation n’est pas causalité : deux grandeurs peuvent varier ensemble sans que l’une cause l’autre.
- Paradoxe de Simpson : une tendance présente dans chaque sous-groupe peut s’inverser quand on regroupe les données, si les groupes sont de tailles différentes.
- Échantillon non représentatif : une moyenne calculée sur un groupe biaisé ne dit rien de la population.
- Graphiques trompeurs : axe vertical tronqué, échelles différentes.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre moyenne et médiane ?
La moyenne additionne toutes les valeurs et divise par leur nombre ; elle est influencée par les valeurs extrêmes. La médiane est la valeur du milieu de la série ordonnée ; elle ne l’est pas. Pour des salaires ou des prix immobiliers, la médiane est souvent plus représentative.
Comment calculer une moyenne pondérée ?
On multiplie chaque valeur par son coefficient, on additionne ces produits, puis on divise par la somme des coefficients.
Que signifie un écart-type faible ?
Que les valeurs sont regroupées près de la moyenne : la série est homogène. Un écart-type élevé indique des valeurs très dispersées.
Comment trouver la médiane d’un nombre pair de valeurs ?
On range les valeurs par ordre croissant et on fait la moyenne des deux valeurs centrales. Pour 3, 5, 8, 10 : (5 + 8) / 2 = 6,5.