La racine carrée

Quelle est la longueur du côté d’un carré de 49 m² ? 7 m, car 7 × 7 = 49 : on vient de calculer une racine carrée. Cette opération, inverse de l’élévation au carré, intervient partout : théorème de Pythagore, résolution des équations du second degré, calculs d’écart type, de distances, de vitesses.

Le symbole √, appelé radical, apparaît au XVIe siècle en Allemagne (Christoph Rudolff, 1525) ; il dériverait d’une forme stylisée de la lettre r, initiale du latin radix, « racine ».

Les carrés parfaits à connaître

Donc √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3… √144 = 12, √625 = 25. Et √0 = 0.

Valeurs approchées utiles

La racine carrée d’un entier qui n’est pas un carré parfait est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et non périodique.

Racine carrée et équation x² = a

Attention à ne pas confondre √a (un seul nombre, positif) et les solutions de x² = a :

Exemple : x² = 16 a pour solutions 4 et −4, mais √16 = 4 uniquement.

Les propriétés de calcul

Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :

Simplifier une racine carrée

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous le radical, puis on applique la règle du produit.

On ne peut additionner que des racines de même radicande : 2√3 + 5√3 = 7√3, mais √2 + √3 ne se simplifie pas.

Supprimer une racine au dénominateur

L’usage veut qu’on n’en laisse pas au dénominateur. On multiplie en haut et en bas par la racine :

1 / √2 = √2 / (√2 × √2) = √2 / 2

Pour un dénominateur de la forme a + √b, on multiplie par l'expression conjuguée a − √b, en utilisant l’identité (a + √b)(a − √b) = a² − b :

1 / (1 + √2) = (1 − √2) / (1 − 2) = √2 − 1

Calculer une racine sans calculatrice

L’encadrement

Pour estimer √40 : 6² = 36 et 7² = 49, donc 6 < √40 < 7. Comme 40 est plus proche de 36, √40 est un peu au-dessus de 6 (valeur exacte : 6,324…).

La méthode de Héron

Connue dès l’Antiquité (Héron d’Alexandrie la décrit au Ier siècle, les Babyloniens l’utilisaient déjà), elle converge très vite. Pour calculer √a, on part d’une valeur approchée x, puis on la remplace par la moyenne de x et de a/x :

x_suivant = (x + a / x) / 2

La fonction racine carrée

La fonction f(x) = √x est définie pour x ≥ 0. Elle est croissante : si 0 ≤ a < b, alors √a < √b. Sa courbe est une demi-parabole couchée qui part de l’origine. Pour 0 < x < 1, on a √x > x (√0,25 = 0,5) ; pour x > 1, √x < x. Sa dérivée vaut 1 / (2√x). Voir fonctions mathématiques.

Au-delà : racines cubiques et n-ièmes

La racine cubique de a, notée ∛a, est le nombre dont le cube vaut a : ∛27 = 3, ∛(−8) = −2. Contrairement à la racine carrée, elle existe pour les nombres négatifs. Plus généralement, la racine n-ième s’écrit ⁿ√a = a^(1/n). Le côté d’un cube de 1 000 cm³ mesure ∛1 000 = 10 cm.

Questions fréquentes

Une racine carrée peut-elle être négative ?

Non. Par définition, √a est positive ou nulle. En revanche, l’équation x² = a a deux solutions, √a et −√a, quand a > 0.

Peut-on calculer la racine carrée d’un nombre négatif ?

Pas dans les nombres réels, car un carré est toujours positif. Dans les nombres complexes, on pose i² = −1, et par exemple les solutions de x² = −9 sont 3i et −3i.

Comment simplifier √48 ?

48 = 16 × 3, donc √48 = √16 × √3 = 4√3.

Quelle est la racine carrée de 2 ?

Environ 1,414 213 562. C’est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et non périodique.