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Les fonctions en mathématiques
Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre x d’un ensemble un unique nombre noté f(x), son image. Sa courbe représentative est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).
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Le prix d’un trajet en taxi selon la distance, la température au cours de la journée, la hauteur d’un ballon en fonction du temps : chaque fois qu’une grandeur dépend d’une autre, on peut la modéliser par une fonction. C’est l’un des concepts centraux des mathématiques modernes, formalisé progressivement par Leibniz, qui introduit le mot (1692), puis Euler, qui popularise la notation f(x) (1734), et Dirichlet au XIXe siècle.
Le vocabulaire
| Terme | Sens | Exemple avec f(x) = x² |
|---|---|---|
| Image de a | Le nombre f(a) | L’image de 3 est 9 |
| Antécédent de b | Tout nombre x tel que f(x) = b | Les antécédents de 9 sont −3 et 3 |
| Ensemble de définition | Les x pour lesquels f(x) existe | Tous les réels |
| Courbe représentative | Points (x ; f(x)) dans un repère | Une parabole |
Un nombre a une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Les fonctions de référence
| Fonction | Expression | Courbe | Ensemble de définition |
|---|---|---|---|
| Affine | f(x) = ax + b | Droite | ℝ |
| Linéaire | f(x) = ax | Droite passant par l’origine | ℝ |
| Carré | f(x) = x² | Parabole | ℝ |
| Cube | f(x) = x³ | Courbe en S | ℝ |
| Inverse | f(x) = 1/x | Hyperbole | ℝ privé de 0 |
| Racine carrée | f(x) = √x | Demi-parabole couchée | [0 ; +∞[ |
| Valeur absolue | f(x) = abs(x) | En V | ℝ |
| Exponentielle | f(x) = eˣ | Croissance explosive | ℝ |
| Logarithme népérien | f(x) = ln x | Croissance très lente | ]0 ; +∞[ |
| Sinus, cosinus | sin x, cos x | Sinusoïdes | ℝ |
La fonction affine
f(x) = ax + b : a est le coefficient directeur (la pente), b l'ordonnée à l’origine.
- si a > 0, la droite monte (fonction croissante) ; si a < 0, elle descend ; si a = 0, elle est horizontale (fonction constante) ;
- quand x augmente de 1, f(x) augmente de a ;
- à partir de deux points A et B :
a = (yB − yA) / (xB − xA).
Une fonction linéaire (b = 0) traduit une situation de proportionnalité.
La fonction carré et les paraboles
Les fonctions du second degré f(x) = ax² + bx + c ont pour courbe une parabole, tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. Son sommet a pour abscisse −b / 2a. La trajectoire d’un projectile (sans frottement) est une parabole.
La fonction inverse
f(x) = 1/x n’est pas définie en 0. Elle décrit les situations de proportionnalité inverse : à distance fixe, le temps de trajet est inversement proportionnel à la vitesse.
Exponentielle et logarithme
- La fonction exponentielle
eˣ(e ≈ 2,718) est la seule fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0. Elle modélise les croissances proportionnelles à la quantité présente : population, intérêts composés, propagation d’une épidémie à ses débuts, et à l’inverse la décroissance radioactive. - Le logarithme népérien
ln xest sa fonction réciproque :ln(eˣ) = x. Il transforme les produits en sommes :ln(ab) = ln a + ln b. Le logarithme décimal (log) sert pour le pH et les décibels.
Étudier une fonction
Le sens de variation
- f est croissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) augmente.
- f est décroissante si, quand x augmente, f(x) diminue.
On résume dans un tableau de variations, qui indique les intervalles et les valeurs extrêmes (maximum, minimum). L’outil principal pour étudier les variations est la dérivée : f est croissante là où f′(x) > 0.
Le signe
Étudier le signe de f, c’est chercher où f(x) > 0 (courbe au-dessus de l’axe des abscisses) et où f(x) < 0. Pour une fonction affine ax + b, le signe change en x = −b/a.
La parité
- Paire :
f(−x) = f(x), courbe symétrique par rapport à l’axe vertical (x², cos x, |x|). - Impaire :
f(−x) = −f(x), courbe symétrique par rapport à l’origine (x, x³, 1/x, sin x).
Les limites
Elles décrivent le comportement de f aux bornes de son ensemble de définition : lim (x → +∞) 1/x = 0 (la courbe s’approche de l’axe horizontal, qui est une asymptote).
Lire un graphique
- L'image de a : on part de a sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe, on lit l’ordonnée.
- Les antécédents de b : on part de b sur l’axe vertical, on trace une horizontale, on lit les abscisses des points d’intersection avec la courbe.
- Les solutions de
f(x) = g(x)sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes.
Fonctions et suites
Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels : uₙ = f(n). Voir les suites numériques.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre f et f(x) ?
f désigne la fonction elle-même (le procédé) ; f(x) désigne le nombre obtenu, l’image de x. On dit « la fonction f », et « f(x) vaut 9 pour x = 3 ».
Comment savoir si une courbe représente une fonction ?
Toute droite verticale doit couper la courbe en au plus un point, puisque chaque x a au plus une image. Un cercle entier, par exemple, n’est pas la courbe d’une fonction.
Quelle différence entre fonction affine et linéaire ?
Une fonction linéaire ax est une fonction affine particulière, avec b = 0 : sa droite passe par l’origine et elle traduit une proportionnalité.
À quoi servent les fonctions dans la vie courante ?
À modéliser et prévoir : coût selon la quantité, consommation selon la vitesse, évolution d’une population, amortissement d’un emprunt. Les tableurs et logiciels de calcul reposent sur des fonctions.