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La somme des angles d’un triangle
Dans tout triangle du plan, la somme des trois angles vaut 180°. Connaissant deux angles, on trouve donc le troisième en soustrayant leur somme à 180°.
Mis à jour le 3 min de lecture
La propriété « la somme des angles d’un triangle vaut 180° » est l’une des premières que l’on apprend en géométrie, et l’une des plus utilisées. Elle est vraie pour tous les triangles, quelles que soient leur forme et leur taille, tant que l’on reste dans un plan. Elle sert à calculer des angles, à prouver qu’un triangle est rectangle ou isocèle, et à trouver la somme des angles de n’importe quel polygone.
Calculer le troisième angle
Ĉ = 180° − (Â + B̂)
Conséquences directes
| Situation | Conséquence |
|---|---|
| Triangle équilatéral | Chaque angle mesure 180 / 3 = 60° |
| Triangle rectangle | Les deux autres angles sont aigus et totalisent 90° |
| Triangle rectangle isocèle | Deux angles de 45° |
| Deux angles connus égaux à ceux d’un autre triangle | Le troisième est aussi égal : les triangles sont semblables |
| Angle obtus | Il ne peut y en avoir qu’un seul |
La démonstration
La preuve classique, déjà présente dans les Éléments d'Euclide, repose sur les droites parallèles.
- Par le sommet A, on trace la droite (d) parallèle à (BC).
- Les angles formés en A entre (d) et (AB) d’une part, (d) et (AC) d’autre part, sont alternes-internes avec B̂ et Ĉ : ils leur sont égaux.
- En A, ces deux angles et l’angle  se juxtaposent pour former un angle plat, soit 180°.
- Donc
 + B̂ + Ĉ = 180°.
La démonstration utilise l’existence et l’unicité de la parallèle passant par un point : c’est le cinquième postulat d’Euclide. Voir les droites parallèles et perpendiculaires pour les angles alternes-internes.
Une vérification manuelle : découper un triangle en papier, déchirer ses trois coins et les placer côte à côte ; ils forment un angle plat.
L’angle extérieur
L’angle extérieur en un sommet est formé par un côté et le prolongement de l’autre. Il est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents :
angle extérieur en C = Â + B̂
Il est le supplémentaire de Ĉ : 180° − Ĉ. La somme des trois angles extérieurs (un par sommet) vaut 360°.
Somme des angles d’un polygone
Un polygone convexe à n côtés se découpe en n − 2 triangles à partir d’un sommet. La somme de ses angles intérieurs vaut donc :
S = (n − 2) × 180°
| Polygone | n | Somme des angles | Angle d’un polygone régulier |
|---|---|---|---|
| Triangle | 3 | 180° | 60° |
| Quadrilatère | 4 | 360° | 90° |
| Pentagone | 5 | 540° | 108° |
| Hexagone | 6 | 720° | 120° |
| Octogone | 8 | 1 080° | 135° |
| Décagone | 10 | 1 440° | 144° |
Voir les polygones réguliers et les quadrilatères.
Quand la somme ne vaut pas 180°
Sur une sphère, les « droites » sont les grands cercles et la somme des angles d’un triangle dépasse 180°. Un triangle tracé sur la Terre entre le pôle Nord et deux points de l’équateur séparés de 90° de longitude a trois angles droits : 270°. L’excès est proportionnel à l’aire du triangle.
En géométrie hyperbolique, au contraire, la somme est inférieure à 180°. Ces géométries, qui rejettent le postulat des parallèles, sont présentées dans la fiche géométrie non euclidienne. À l’échelle d’un terrain ou d’un bâtiment, l’écart avec 180° est imperceptible.
Questions fréquentes
Pourquoi la somme des angles d’un triangle fait-elle 180° ?
Parce qu’en traçant la parallèle à un côté passant par le sommet opposé, les trois angles se retrouvent juxtaposés et forment un angle plat, qui mesure 180°.
Un triangle peut-il avoir deux angles droits ?
Non dans le plan : leur somme ferait déjà 180°, et le troisième angle serait nul. Sur une sphère, en revanche, c’est possible.
Quelle est la somme des angles d’un quadrilatère ?
360°, car tout quadrilatère se découpe en deux triangles par une diagonale.
Comment trouver un angle manquant dans un triangle ?
On additionne les deux angles connus et on retranche le résultat à 180°.