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Les polygones réguliers
Un polygone régulier a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux. Chaque angle intérieur d’un polygone régulier à n côtés mesure (n − 2) × 180° / n.
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Triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone des ruches, octogone des panneaux « stop » : les polygones réguliers sont les figures les plus symétriques du plan. Tous sont inscrits dans un cercle, et plus leur nombre de côtés augmente, plus ils se rapprochent de ce cercle. C’est d’ailleurs ainsi qu’Archimède a encadré le nombre π.
Les deux conditions sont nécessaires : un losange a ses côtés égaux mais pas ses angles ; un rectangle a ses angles égaux mais pas ses côtés.
Noms et angles des polygones
| Côtés n | Nom | Somme des angles | Angle intérieur (régulier) | Angle au centre |
|---|---|---|---|---|
| 3 | Triangle (équilatéral) | 180° | 60° | 120° |
| 4 | Quadrilatère (carré) | 360° | 90° | 90° |
| 5 | Pentagone | 540° | 108° | 72° |
| 6 | Hexagone | 720° | 120° | 60° |
| 7 | Heptagone | 900° | ≈ 128,57° | ≈ 51,43° |
| 8 | Octogone | 1 080° | 135° | 45° |
| 9 | Ennéagone | 1 260° | 140° | 40° |
| 10 | Décagone | 1 440° | 144° | 36° |
| 11 | Hendécagone | 1 620° | ≈ 147,27° | ≈ 32,73° |
| 12 | Dodécagone | 1 800° | 150° | 30° |
| 20 | Icosagone | 3 240° | 162° | 18° |
Les formules
Pour un polygone régulier à n côtés de longueur a, inscrit dans un cercle de rayon R :
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Somme des angles intérieurs | (n − 2) × 180° |
| Angle intérieur | (n − 2) × 180° / n |
| Angle au centre | 360° / n |
| Angle extérieur | 360° / n |
| Périmètre | P = n × a |
| Côté en fonction du rayon | a = 2R × sin(180° / n) |
| Apothème (distance centre-côté) | ap = R × cos(180° / n) |
| Aire | A = P × ap / 2 |
| Nombre de diagonales | n(n − 3) / 2 |
L’aire se comprend en découpant le polygone en n triangles isocèles de sommet le centre : chacun a pour base a et pour hauteur l’apothème.
Construire un polygone régulier
On trace un cercle et on reporte l’angle au centre 360° / n au rapporteur. Certaines constructions se font à la règle et au compas seuls :
- hexagone : on reporte le rayon six fois sur le cercle ;
- triangle équilatéral : un sommet sur deux de l’hexagone ;
- carré : deux diamètres perpendiculaires ;
- pentagone : construction connue depuis Euclide, liée au nombre d’or (la diagonale d’un pentagone régulier vaut φ fois son côté).
En 1796, Carl Friedrich Gauss a montré que le polygone régulier à 17 côtés est constructible à la règle et au compas. Le théorème de Gauss-Wantzel (1837) établit qu’un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts (3, 5, 17, 257, 65 537). L’heptagone (7) et l’ennéagone (9) ne sont donc pas constructibles.
Les pavages réguliers
Seuls trois polygones réguliers pavent le plan à eux seuls, sans trou ni chevauchement : le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone. Il faut en effet que l’angle intérieur divise 360° : 60° × 6, 90° × 4, 120° × 3. Le pentagone (108°) ne convient pas.
L’hexagone est le pavage qui, à aire égale, a le plus petit périmètre : c’est l’explication avancée pour la forme des alvéoles des abeilles, qui économisent la cire. En dimension 3, les polyèdres réguliers sont les solides de Platon.
Polygones étoilés
En reliant les sommets d’un polygone régulier de k en k, on peut obtenir des polygones réguliers étoilés : le pentagramme (5 sommets reliés de 2 en 2), l’étoile à six branches (deux triangles superposés), l’octogramme. Ils ne sont pas convexes.
Questions fréquentes
Comment s’appelle un polygone à 7 côtés ?
Un heptagone. À 9 côtés, un ennéagone (ou nonagone) ; à 11, un hendécagone ; à 12, un dodécagone.
Quel est l’angle d’un hexagone régulier ?
Chaque angle intérieur mesure 120°, et la somme des six angles vaut 720°.
Pourquoi les panneaux stop sont-ils octogonaux ?
La forme octogonale a été adoptée pour être reconnaissable même de dos ou couverte de neige ; elle est réservée à ce panneau dans la plupart des pays.
Un cercle est-il un polygone ?
Non : un polygone a un nombre fini de côtés rectilignes. Mais le cercle est la limite des polygones réguliers quand le nombre de côtés tend vers l’infini.