Sciences · Mathématiques
Les nombres complexes
Un nombre complexe s’écrit z = a + ib, où a et b sont des réels et i un nombre tel que i² = −1. Ils prolongent les réels, permettent de résoudre toute équation polynomiale et se représentent dans un plan.
Mis à jour le 5 min de lecture
Dans les nombres réels, aucun carré n’est négatif : l’équation x² = −1 n’a pas de solution. Les mathématiciens de la Renaissance ont pourtant osé manipuler des « racines de nombres négatifs », d’abord comme de simples artifices de calcul. Ces nombres « impossibles » se sont révélés indispensables : ils sont aujourd’hui au cœur de l’électricité, du traitement du signal et de la mécanique quantique.
- Si b = 0, z = a est un réel : ℝ est inclus dans ℂ (voir ensembles de nombres).
- Si a = 0, z = ib est un imaginaire pur.
Calculer avec les complexes
On calcule comme avec des expressions algébriques ordinaires, en remplaçant i² par −1.
| Opération | Règle | Exemple avec z = 2 + 3i et w = 1 − i |
|---|---|---|
| Somme | (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) | z + w = 3 + 2i |
| Différence | on soustrait parties réelles et imaginaires | z − w = 1 + 4i |
| Produit | (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc) | z × w = 2 − 2i + 3i − 3i² = 5 + i |
| Puissances de i | i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, puis le cycle recommence | i¹⁰ = i² = −1 |
Le conjugué
Le conjugué de z = a + ib est z̄ = a − ib. Propriété essentielle : z × z̄ = a² + b², un nombre réel positif.
Le quotient
Pour diviser, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :
(2 + 3i) / (1 − i) = (2 + 3i)(1 + i) / ((1 − i)(1 + i)) = (2 + 2i + 3i + 3i²) / 2 = (−1 + 5i) / 2 = −0,5 + 2,5i
Le plan complexe
Chaque complexe z = a + ib correspond au point M de coordonnées (a ; b) dans un repère : c’est le plan complexe, ou plan d’Argand-Gauss. L’axe horizontal porte les réels, l’axe vertical les imaginaires purs.
- Le module de z, noté |z|, est la distance de l’origine à M :
|z| = √(a² + b²)(voir théorème de Pythagore). - Un argument de z, noté arg(z), est l’angle θ entre l’axe des réels et le segment OM, défini à 2π près.
Additionner des complexes revient à additionner des vecteurs ; les multiplier revient à multiplier les modules et additionner les arguments. Multiplier par i, c’est faire tourner d’un quart de tour (90°) autour de l’origine.
Forme trigonométrique et forme exponentielle
Avec r = |z| et θ = arg(z) :
- forme trigonométrique :
z = r (cos θ + i sin θ)(voir trigonométrie) ; - forme exponentielle :
z = r e^(iθ), grâce à la formule d’Eulere^(iθ) = cos θ + i sin θ.
La forme exponentielle rend les produits et les puissances très simples : (r e^(iθ))ⁿ = rⁿ e^(inθ). C’est la formule de Moivre.
L’identité d’Euler
Avec θ = π, la formule d’Euler donne :
e^(iπ) + 1 = 0
Cette égalité, publiée par Leonhard Euler au XVIIIe siècle, relie cinq constantes fondamentales : 0, 1, e (voir logarithme), i et π (voir nombre pi). Elle est souvent citée comme la plus belle formule des mathématiques.
Résoudre les équations du second degré
Pour ax² + bx + c = 0 avec a, b, c réels et un discriminant Δ = b² − 4ac négatif, il n’y a pas de solution réelle, mais deux solutions complexes conjuguées :
x = (−b ± i√(−Δ)) / (2a)
Voir équations pour le cas réel.
Le théorème fondamental de l’algèbre
Dans ℂ, toute équation polynomiale de degré n ≥ 1 a exactement n solutions (comptées avec leur multiplicité). On dit que ℂ est algébriquement clos : il n’est plus nécessaire d’inventer de nouveaux nombres pour résoudre les équations polynomiales. Énoncé au XVIIe siècle, ce théorème est démontré de façon satisfaisante au tournant du XIXe siècle, notamment par Carl Friedrich Gauss (1799) et Jean-Robert Argand (1806).
Une histoire en dates
| Date | Étape |
|---|---|
| 1545 | Jérôme Cardan, dans l'Ars magna, rencontre des racines carrées de nombres négatifs en résolvant des équations du troisième degré, les jugeant « sophistiquées » et inutiles |
| 1572 | Rafael Bombelli, dans son Algebra, donne les premières règles de calcul avec ces quantités et montre qu’elles conduisent à des solutions réelles correctes |
| 1637 | René Descartes les qualifie d'« imaginaires », terme péjoratif resté en usage |
| 1748 | Euler publie la formule e^(iθ) = cos θ + i sin θ |
| 1777 | Euler introduit la notation i |
| 1799-1806 | Caspar Wessel, Jean-Robert Argand et Gauss proposent la représentation géométrique dans le plan |
| 1831 | Gauss popularise l’expression « nombres complexes » |
À quoi servent les nombres complexes ?
- Électricité : en courant alternatif, tensions et intensités sont représentées par des complexes, ce qui transforme des équations différentielles en simples calculs algébriques ; les électriciens notent j au lieu de i pour éviter la confusion avec l’intensité.
- Traitement du signal : la transformée de Fourier, qui décompose un son ou une image en fréquences (compression MP3, JPEG, imagerie médicale), repose sur les exponentielles complexes.
- Mécanique quantique : l’équation de Schrödinger et la fonction d’onde sont à valeurs complexes (voir mécanique quantique).
- Géométrie : rotations, similitudes et fractales (l’ensemble de Mandelbrot est défini par une suite de nombres complexes).
- Aérodynamique et hydrodynamique : calcul d’écoulements autour de profils d’ailes.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que le nombre i ?
C’est un nombre, qui n’est pas réel, défini par la propriété i² = −1. On l’appelle l’unité imaginaire.
Les nombres imaginaires existent-ils vraiment ?
Autant que les nombres négatifs ou irrationnels : ce sont des objets mathématiques rigoureusement définis, par exemple comme des couples de réels munis de règles de calcul. Le mot « imaginaire » est un héritage historique.
Comment calculer le module d’un nombre complexe ?
Pour z = a + ib, le module vaut √(a² + b²). Par exemple, |3 + 4i| = √(9 + 16) = 5.
Peut-on comparer deux nombres complexes ?
Pas avec un ordre compatible avec les opérations : on ne peut pas dire qu’un complexe non réel est « plus grand » qu’un autre. On compare en revanche leurs modules.