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Additionner et soustraire des fractions
Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur. Sinon, on les réduit d’abord : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
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L’addition de fractions est au programme de 5e (dénominateurs multiples l’un de l’autre) et de 4e (cas général). Elle pose une difficulté majeure : on ne peut pas additionner les dénominateurs. La fiche fractions présente l’ensemble des opérations ; celle-ci détaille la méthode de l’addition et de la soustraction.
Pourquoi on garde le dénominateur
2 cinquièmes plus 1 cinquième font 3 cinquièmes, comme 2 pommes plus 1 pomme font 3 pommes. Le dénominateur est le « nom » des parts. En revanche, on ne peut pas additionner directement des tiers et des quarts : il faut d’abord les découper en parts communes, des douzièmes.
Méthode pas à pas
- Chercher un dénominateur commun : un multiple commun des deux dénominateurs, de préférence le plus petit (PPCM).
- Transformer chaque fraction en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
- Additionner (ou soustraire) les numérateurs, garder le dénominateur commun.
- Simplifier le résultat si possible.
Les trois cas
| Cas | Exemple | Calcul |
|---|---|---|
| Même dénominateur | 2/7 + 3/7 | 5/7 |
| L’un multiple de l’autre | 1/4 + 5/8 | 2/8 + 5/8 = 7/8 |
| Cas général | 2/3 + 3/4 | 8/12 + 9/12 = 17/12 |
Dans le cas général, le produit des dénominateurs est toujours un dénominateur commun (ici 3 × 4 = 12), mais pas toujours le plus petit. Pour 5/6 + 1/4, le produit donne 24, alors que 12 suffit : 10/12 + 3/12 = 13/12.
Exemple détaillé : 5/6 − 3/8
- Multiples de 8 : 8, 16, 24. 24 est aussi multiple de 6 : dénominateur commun 24.
5/6 = 20/24(× 4) ;3/8 = 9/24(× 3).20/24 − 9/24 = 11/24.- 11 est premier et ne divise pas 24 : la fraction est irréductible.
Avec un nombre entier
Un entier s’écrit comme une fraction de même dénominateur : 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5. Et 1 − 3/8 = 8/8 − 3/8 = 5/8.
Avec des nombres négatifs
On applique les règles des nombres relatifs aux numérateurs : 1/6 − 3/4 = 2/12 − 9/12 = −7/12.
Dans un calcul plus long
Les priorités opératoires s’appliquent : multiplications avant additions. 1/2 + 1/2 × 4/3 = 1/2 + 4/6 = 3/6 + 4/6 = 7/6.
Erreurs fréquentes
- Additionner les dénominateurs :
1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Contrôle : 2/5 = 0,4 est plus petit que 1/2, impossible. - Ne transformer que le dénominateur :
2/3 = 8/12(on multiplie aussi le numérateur par 4). - Oublier de simplifier le résultat final.
- Mal gérer le signe moins devant une fraction :
1 − (2/5 + 1/5) = 1 − 3/5 = 2/5.
Exercice corrigé
3/10 + 4/10= 7/10.2/3 + 1/6=4/6 + 1/6 = 5/6.3/4 − 2/5=15/20 − 8/20 =7/20.7/12 + 5/18: PPCM(12, 18) = 36 →21/36 + 10/36 =31/36.3 − 7/4=12/4 − 7/4 =5/4.- Un réservoir est rempli au 1/3 le matin et de 2/5 l’après-midi. Fraction remplie :
5/15 + 6/15 =11/15.
Questions fréquentes
Comment additionner deux fractions de dénominateurs différents ?
On les réduit au même dénominateur, en multipliant numérateur et dénominateur de chacune, puis on additionne les numérateurs : 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
Peut-on additionner les numérateurs et les dénominateurs ?
Non. a/b + c/d n’est presque jamais égal à (a + c)/(b + d). Cette erreur donne d’ailleurs un résultat compris entre les deux fractions, donc trop petit.
Faut-il toujours prendre le plus petit dénominateur commun ?
Non, n’importe quel multiple commun convient, mais le plus petit évite les grands nombres et les simplifications finales.
Comment additionner des fractions avec une calculatrice ?
La plupart des calculatrices de collège ont une touche fraction qui donne le résultat sous forme de fraction irréductible. Savoir le faire à la main reste indispensable, notamment en calcul littéral.