Sciences · Mathématiques
Les fractions
Une fraction a/b représente le quotient de a par b : a parts d’un tout partagé en b parts égales. Pour additionner, on réduit au même dénominateur ; pour multiplier, on multiplie numérateurs et dénominateurs.
Mis à jour le 4 min de lecture
Les fractions servent à exprimer des parts (« les trois quarts de la classe »), des proportions, des probabilités et des quotients exacts que l’écriture décimale ne permet pas toujours (1/3 = 0,333…). Leurs règles de calcul sont peu nombreuses mais doivent être appliquées avec rigueur.
Le vocabulaire
| Terme | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| Fraction propre | Numérateur < dénominateur (valeur < 1) | 3/4 |
| Fraction impropre | Numérateur ≥ dénominateur (valeur ≥ 1) | 7/4 |
| Nombre fractionnaire | Entier + fraction propre | 1 3/4 = 7/4 |
| Fraction irréductible | Numérateur et dénominateur sans diviseur commun autre que 1 | 2/3 |
| Fractions égales (équivalentes) | Même valeur | 1/2 = 2/4 = 50/100 |
| Inverse | Fraction retournée | l’inverse de 3/5 est 5/3 |
Une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000… est une fraction décimale : 37/100 = 0,37.
La propriété fondamentale
On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul :
a / b = (a × k) / (b × k)
C’est la règle qui permet de simplifier et de mettre au même dénominateur.
Simplifier une fraction
On divise numérateur et dénominateur par un diviseur commun, jusqu’à obtenir une fraction irréductible. Le plus rapide est de diviser par leur PGCD, ou de décomposer en facteurs premiers (voir les nombres premiers).
Additionner et soustraire
Même dénominateur : on additionne les numérateurs, on garde le dénominateur.
a/c + b/c = (a + b) / c
Dénominateurs différents : on réduit d’abord au même dénominateur (de préférence le plus petit multiple commun).
Pour un entier : 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5.
Multiplier
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)
« Prendre une fraction de » signifie multiplier : les 2/3 de 45 € = 2/3 × 45 = 30 €.
Diviser
Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse :
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)
Comparer des fractions
- Même dénominateur : la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur (5/7 > 3/7).
- Même numérateur : la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur (3/5 > 3/8 : on partage en moins de parts, chacune est plus grande).
- Cas général : on réduit au même dénominateur, ou on compare les produits en croix :
a/b < c/dsia × d < b × c(b et d positifs).
Fractions et nombres décimaux
Pour convertir une fraction en nombre décimal, on divise le numérateur par le dénominateur.
| Fraction | Décimal | Pourcentage |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 50 % |
| 1/3 | 0,333… | ≈ 33,3 % |
| 1/4 | 0,25 | 25 % |
| 1/5 | 0,2 | 20 % |
| 1/8 | 0,125 | 12,5 % |
| 2/3 | 0,666… | ≈ 66,7 % |
| 3/4 | 0,75 | 75 % |
| 1/10 | 0,1 | 10 % |
Une fraction irréductible a une écriture décimale finie si et seulement si son dénominateur n’a pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5. Sinon, l’écriture est infinie et périodique : 1/7 = 0,142857 142857… Le lien avec les pourcentages est détaillé dans la fiche calcul de pourcentage.
Priorités et fractions dans les calculs
Dans une expression, on respecte l’ordre habituel : parenthèses, puis puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions.
Les fractions interviennent ensuite dans la résolution d'équations et le calcul de probabilités.
Questions fréquentes
Comment mettre deux fractions au même dénominateur ?
On cherche un multiple commun aux deux dénominateurs (idéalement le plus petit), puis on multiplie le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le nombre qui permet d’obtenir ce dénominateur. Pour 1/6 et 3/4 : dénominateur 12, donc 2/12 et 9/12.
Peut-on diviser par une fraction nulle ?
Non. Une fraction nulle (0/b) vaut 0 et la division par zéro n’est pas définie. Le dénominateur d’une fraction ne peut pas non plus être 0.
Pourquoi diviser par une fraction revient-il à multiplier par l’inverse ?
Diviser par 1/2, c’est chercher combien de moitiés il y a dans un nombre : dans 3, il y a 6 moitiés. On a bien 3 ÷ 1/2 = 3 × 2 = 6.
Comment simplifier une fraction rapidement ?
On utilise les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9, 10) et on divise successivement, ou on divise directement par le PGCD du numérateur et du dénominateur.