La trigonométrie

Mesurer la hauteur d’une montagne sans la gravir, calculer la distance d’un navire ou d’une étoile, programmer la rotation d’un objet en 3D, décrire une onde sonore : tout cela repose sur la trigonométrie (du grec trigônon, « triangle », et metron, « mesure »). Elle naît dans l’astronomie grecque avec Hipparque (IIe siècle av. J.-C.) et Ptolémée, puis se développe en Inde et dans le monde arabo-musulman, où al-Battani et Abu al-Wafa introduisent les fonctions modernes.

Dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α, on nomme :

• l'hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit (le plus long) ;
• le côté opposé à α : celui qui ne touche pas α ;
• le côté adjacent à α : celui qui touche α et n’est pas l’hypoténuse.

Ces rapports ne dépendent que de l’angle, pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles ayant le même angle aigu sont semblables (conséquence du théorème de Thalès).

Exemples de calcul

Les valeurs remarquables

Elles se retrouvent à partir de deux triangles : la moitié d’un carré (45°) et la moitié d’un triangle équilatéral (30° et 60°).

Les relations fondamentales

• cos² α + sin² α = 1 (c’est le théorème de Pythagore appliqué à un triangle d’hypoténuse 1) ;
• tan α = sin α / cos α ;
• angles complémentaires : cos(90° − α) = sin α et sin(90° − α) = cos α.

Les radians

En mathématiques avancées et en physique, on mesure les angles en radians. Un radian est l’angle qui intercepte, sur un cercle, un arc de longueur égale au rayon. Un tour complet vaut 2π radians (voir le nombre π).

angle en radians = angle en degrés × π / 180

Le cercle trigonométrique

Pour définir cos et sin pour tous les angles (y compris négatifs ou supérieurs à 90°), on utilise un cercle de rayon 1 centré à l’origine d’un repère. Un point M du cercle repéré par l’angle x a pour coordonnées :

M (cos x ; sin x)

Conséquences :

• cos x et sin x sont toujours compris entre −1 et 1 ;
• ils sont périodiques de période 2π : cos(x + 2π) = cos x ;
• signes : cos > 0 à droite de l’axe vertical, sin > 0 au-dessus de l’axe horizontal ;
• symétries : cos(−x) = cos x (fonction paire), sin(−x) = −sin x (fonction impaire), cos(π − x) = −cos x, sin(π − x) = sin x.

Les courbes de sinus et cosinus sont des sinusoïdes, qui décrivent tous les phénomènes oscillants : son, courant alternatif, marées, ondes lumineuses (voir les fonctions).

Formules dans un triangle quelconque

(a, b, c sont les côtés opposés aux angles A, B, C.)

Formules d’addition (lycée)

• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
• cos(2a) = cos² a − sin² a = 2 cos² a − 1 = 1 − 2 sin² a
• sin(2a) = 2 sin a cos a

Applications

• Topographie et navigation : triangulation, calcul de distances inaccessibles. La méridienne de Delambre et Méchain (1792-1798), qui a servi à définir le mètre, reposait sur une chaîne de triangles.
• Astronomie : distance des étoiles proches par la parallaxe.
• Physique : décomposition des forces en composantes, ondes, optique (loi de Snell-Descartes).
• Informatique graphique : rotations, jeux vidéo, imagerie.
• Architecture : pentes de toit, escaliers, rampes d’accès.

Questions fréquentes

Comment savoir s’il faut utiliser cos, sin ou tan ?

On repère les deux côtés concernés (celui que l’on connaît et celui que l’on cherche) par rapport à l’angle : adjacent et hypoténuse → cosinus ; opposé et hypoténuse → sinus ; opposé et adjacent → tangente.

Pourquoi la tangente de 90° n’existe-t-elle pas ?

Parce que tan 90° = sin 90° / cos 90° = 1 / 0 : la division par zéro est impossible. Géométriquement, la tangente croît sans limite quand l’angle approche 90°.

La calculatrice doit-elle être en degrés ou en radians ?

Cela dépend de l’unité de l’angle donné. Au collège, on travaille en degrés (mode DEG) ; au lycée et au-delà, souvent en radians (mode RAD). Une erreur de mode est la cause la plus fréquente de résultats faux.

Le cosinus peut-il être supérieur à 1 ?

Non, pour un angle réel. Dans un triangle rectangle, le côté adjacent est toujours plus court que l’hypoténuse, donc le rapport est inférieur à 1.