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Les probabilités
Une probabilité mesure la chance qu’un événement se produise, par un nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain). En cas d’équiprobabilité : nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles.
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Les probabilités sont nées au XVIIe siècle d’un problème de jeu : comment partager équitablement les mises d’une partie interrompue ? La correspondance entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat, en 1654, pose les fondements de la discipline. Elles servent aujourd’hui en assurance, en médecine (essais cliniques, dépistage), en météorologie, en finance, en physique quantique et en intelligence artificielle.
Le vocabulaire de base
| Terme | Sens | Exemple (lancer d’un dé à 6 faces) |
|---|---|---|
| Univers | Toutes les issues | Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| Événement | Ensemble d’issues | A = « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6} |
| Événement élémentaire | Une seule issue | {5} |
| Événement impossible | Aucune issue, P = 0 | « obtenir 7 » |
| Événement certain | Toutes les issues, P = 1 | « obtenir un nombre entre 1 et 6 » |
| Événement contraire Ā | Les issues qui ne sont pas dans A | « obtenir un nombre impair » |
Une probabilité s’écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage : 1/4 = 0,25 = 25 %.
La formule de Laplace (équiprobabilité)
Quand toutes les issues ont la même chance (dé équilibré, pièce non truquée, tirage au hasard) :
P(A) = nombre d'issues favorables à A / nombre d'issues possibles
Les règles de calcul
| Règle | Formule |
|---|---|
| Encadrement | 0 ≤ P(A) ≤ 1 |
| Somme des issues | La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 |
| Événement contraire | P(Ā) = 1 − P(A) |
| Union (A ou B) | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
| Événements incompatibles (ne peuvent pas se produire ensemble) | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
| Événements indépendants | P(A ∩ B) = P(A) × P(B) |
Expériences à plusieurs épreuves : les arbres
Un arbre pondéré représente les étapes successives. Règles :
- la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 ;
- la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin ;
- la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Probabilités conditionnelles
La probabilité de A sachant que B est réalisé :
P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B)
Le piège du dépistage
Ce raisonnement s’appuie sur la formule de Bayes (Thomas Bayes, publiée en 1763) : P_B(A) = P_A(B) × P(A) / P(B). Négliger la fréquence de base est l’un des biais cognitifs les mieux documentés.
Indépendance
A et B sont indépendants si la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre : P_B(A) = P(A). Les lancers successifs d’une pièce sont indépendants : après cinq « pile », la probabilité d’un sixième « pile » reste 1/2. Croire le contraire est l'erreur du joueur (ou sophisme de Monte-Carlo).
Dénombrement
Pour compter les cas possibles :
| Situation | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Suite de k choix parmi n, avec répétition | nᵏ | Code à 4 chiffres : 10⁴ = 10 000 |
| Ordre de n objets (permutations) | n! = n × (n − 1) × … × 1 | 5 personnes en file : 5! = 120 |
| Choix ordonné de k parmi n, sans répétition | n! / (n − k)! | Podium de 3 parmi 10 : 720 |
| Choix non ordonné de k parmi n (combinaisons) | C(n, k) = n! / (k! (n − k)!) | 5 numéros parmi 49 : 1 906 884 |
Espérance : la moyenne à long terme
L'espérance d’un jeu est le gain moyen par partie si l’on jouait un très grand nombre de fois : somme des gains possibles multipliés par leurs probabilités.
Tous les jeux de casino et de loterie ont une espérance négative pour le joueur.
Fréquence et probabilité : la loi des grands nombres
Si l’on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée d’un événement se rapproche de sa probabilité. C’est la loi des grands nombres, démontrée par Jacques Bernoulli (Ars conjectandi, publié en 1713). Elle justifie l’estimation d’une probabilité par des statistiques, et le fonctionnement de l’assurance.
Questions fréquentes
Une probabilité peut-elle être supérieure à 1 ?
Non. Elle est toujours comprise entre 0 et 1 (ou entre 0 % et 100 %). Un résultat supérieur à 1 signale une erreur de calcul, souvent un oubli de soustraire une intersection.
Quelle différence entre événements incompatibles et indépendants ?
Incompatibles : ils ne peuvent pas se produire en même temps (faire 2 et 5 sur un seul lancer). Indépendants : l’un n’influence pas l’autre (deux lancers différents). Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Quelle est la probabilité que deux personnes aient le même anniversaire ?
Dans un groupe de 23 personnes, elle dépasse 50 % (environ 50,7 %) ; avec 57 personnes, elle dépasse 99 %. C’est le « paradoxe des anniversaires », qui surprend car on pense spontanément à son propre anniversaire.
Pile ou face est-il vraiment 50/50 ?
Pour une pièce équilibrée, c’est un excellent modèle. Des études expérimentales ont montré un très léger biais en faveur de la face visible au départ du lancer, de l’ordre de 1 %.