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Résoudre une équation
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie. On isole l’inconnue en effectuant la même opération des deux côtés ; au second degré, on utilise le discriminant.
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Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues, en général notées x, y ou z. Elle traduit un problème : « quel nombre, multiplié par 3 et augmenté de 5, donne 20 ? » devient 3x + 5 = 20. Le mot algèbre vient d’ailleurs du titre d’un traité du mathématicien persan al-Khwarizmi (IXe siècle), Kitab al-jabr wa al-muqabala, consacré à la résolution des équations.
La règle d’or
On obtient une équation équivalente (mêmes solutions) en :
- ajoutant ou soustrayant le même nombre (ou la même expression) aux deux membres ;
- multipliant ou divisant les deux membres par le même nombre non nul.
Image : une balance en équilibre reste en équilibre si l’on fait la même chose sur les deux plateaux.
Équation du premier degré : ax + b = c
Méthode : regrouper les termes en x d’un côté, les nombres de l’autre, puis diviser par le coefficient de x.
Cas particuliers : si l’on aboutit à 0x = 5, l’équation n’a aucune solution ; si l’on aboutit à 0x = 0, tout nombre est solution.
Mettre un problème en équation
Méthode : choisir l’inconnue, traduire l’énoncé en équation, résoudre, vérifier et conclure par une phrase.
Équation produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.
Équation du second degré : ax² + bx + c = 0
Le discriminant
On calcule Δ = b² − 4ac :
| Signe de Δ | Nombre de solutions réelles | Solutions |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Deux | x₁ = (−b − √Δ) / 2a et x₂ = (−b + √Δ) / 2a |
| Δ = 0 | Une (double) | x₀ = −b / 2a |
| Δ < 0 | Aucune | (deux solutions complexes) |
Somme et produit des racines
Si l’équation a deux solutions : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Pour x² − 5x + 6 = 0 : somme 5, produit 6, donc 2 et 3 : on peut parfois trouver les racines de tête.
Les identités remarquables
Elles permettent de factoriser rapidement :
(a + b)² = a² + 2ab + b²(a − b)² = a² − 2ab + b²(a + b)(a − b) = a² − b²
Graphiquement, les solutions de ax² + bx + c = 0 sont les abscisses des points où la parabole d’équation y = ax² + bx + c coupe l’axe horizontal (voir les fonctions).
Systèmes de deux équations à deux inconnues
Équations célèbres et histoire
| Époque | Avancée |
|---|---|
| ≈ 1800 av. J.-C. | Les Babyloniens résolvent des problèmes du second degré |
| IXe siècle | Al-Khwarizmi systématise la résolution des équations du premier et du second degré |
| 1545 | Cardan publie la résolution du troisième degré (due en partie à Tartaglia et del Ferro) et celle du quatrième degré (Ferrari) |
| 1591 | François Viète introduit les lettres pour désigner les inconnues et les paramètres |
| 1637 | Descartes adopte la notation x, y, z pour les inconnues |
| 1824-1832 | Abel puis Galois montrent qu’il n’existe pas de formule générale par radicaux au-delà du quatrième degré |
Le nombre d’or est la solution positive de x² − x − 1 = 0 (voir le nombre d’or). Pour en savoir plus sur ces savants, voir les grands mathématiciens.
Questions fréquentes
Comment vérifier la solution d’une équation ?
On remplace l’inconnue par la valeur trouvée dans l’équation de départ et on calcule séparément les deux membres. S’ils sont égaux, la solution est correcte.
Quelle différence entre équation et inéquation ?
Une équation est une égalité (=), une inéquation une inégalité (<, >, ≤, ≥). Les règles sont les mêmes, sauf qu’on change le sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Que faire quand Δ est négatif ?
L’équation n’a pas de solution dans les nombres réels. Elle en a deux dans les nombres complexes : (−b ± i√(−Δ)) / 2a.
Pourquoi ne peut-on pas diviser par x ?
Parce que x pourrait valoir 0, et la division par 0 est impossible. En divisant, on risque de perdre une solution. On factorise plutôt et on utilise la règle du produit nul.