La soustraction posée

La soustraction posée est apprise au cycle 2, après l'addition posée. Elle pose une difficulté de plus : que faire quand on doit calculer 3 − 8 dans une colonne ? Deux techniques existent en France, et chaque école choisit souvent l’une d’elles. Elles donnent bien sûr le même résultat.

Sans retenue : le cas simple

Pour 869 − 423 : 9 − 3 = 6, 6 − 2 = 4, 8 − 4 = 4. Résultat 446. On aligne toujours les unités à droite et on commence par la colonne des unités.

Méthode 1 : par emprunt (on « casse » une dizaine)

C’est la méthode la plus facile à comprendre, car elle s’appuie sur la numération : on échange 1 dizaine contre 10 unités.

Exemple : 503 − 278.

1. Unités : 3 − 8 impossible. Les dizaines sont à 0 : on casse d’abord une centaine. 5 centaines deviennent 4, et le 0 des dizaines devient 10.
2. On casse ensuite une dizaine : 10 dizaines deviennent 9, et les 3 unités deviennent 13.
3. Unités : 13 − 8 = 5. Dizaines : 9 − 7 = 2. Centaines : 4 − 2 = 2.

Méthode 2 : par compensation (méthode traditionnelle)

Elle repose sur une propriété : une différence ne change pas si l’on ajoute le même nombre aux deux termes. On ajoute 10 unités en haut et 1 dizaine en bas.

Exemple : 503 − 278.

1. Unités : 3 − 8 impossible → on calcule 13 − 8 = 5 et on écrit une retenue de 1 sous les dizaines du bas (7 devient 8).
2. Dizaines : 0 − 8 impossible → 10 − 8 = 2, retenue 1 sous les centaines du bas (2 devient 3).
3. Centaines : 5 − 3 = 2.

La compensation est plus rapide avec des zéros au premier terme, mais son fonctionnement est moins intuitif.

Avec des nombres décimaux

On aligne les virgules et on complète par des zéros : 15 − 3,48 se pose 15,00 − 3,48 = 11,52. Le zéro ajouté est indispensable, sinon on ne sait pas quoi soustraire aux centièmes.

Vérifier une soustraction

L’addition est l’opération inverse : si 503 − 278 = 225, alors 225 + 278 = 503. C’est la vérification la plus sûre. L’ordre de grandeur aide aussi : 500 − 280 = 220.

Erreurs fréquentes

• Soustraire le petit du grand dans chaque colonne : pour 52 − 17, écrire 7 − 2 = 5 puis 5 − 1 = 4 donne 45 au lieu de 35.
• Oublier de diminuer le chiffre auquel on a emprunté.
• Mélanger les deux méthodes dans un même calcul.
• Mal gérer les zéros au premier terme (1 000 − 1) : avec l’emprunt, il faut casser successivement le millier, une centaine puis une dizaine.
• Décimaux mal alignés : 7,5 − 2,25 ne donne pas 5,0.

Exercice corrigé

1. 742 − 365 → unités 12 − 5 = 7 ; dizaines : il en reste 3 après l’emprunt, trop peu, on casse une centaine → 13 − 6 = 7 ; centaines 6 − 3 = 3. Résultat 377. Vérification : 377 + 365 = 742.
2. 4 000 − 1 386 → 2 614. Vérification : 2 614 + 1 386 = 4 000.
3. 20 − 7,65 → 20,00 − 7,65 = 12,35.
4. Léa a 50 €, elle dépense 23,70 €. Il lui reste 26,30 €.

Questions fréquentes

Quelle méthode de soustraction est enseignée à l’école ?

Les deux. Les programmes n’imposent pas une technique ; beaucoup d’écoles enseignent l’emprunt, plus proche de la manipulation, d’autres la compensation, plus ancienne en France. L’important est d’en maîtriser une et de garder la même dans la classe.

Comment faire une soustraction quand le chiffre du haut est plus petit ?

On utilise une retenue : soit on casse une dizaine du premier terme (emprunt), soit on ajoute 10 en haut et 1 au chiffre suivant du bas (compensation).

Peut-on soustraire un grand nombre d’un petit ?

Oui, mais le résultat est négatif. On calcule l’écart en posant le grand moins le petit, puis on met le signe moins : 278 − 503 = −225.

Comment calculer une soustraction de tête ?

En complétant : pour 503 − 278, on va de 278 à 300 (+22), puis de 300 à 503 (+203). Résultat 225. Voir le calcul mental.