Sciences · Mathématiques
Le cercle et le disque
Le périmètre d’un cercle de rayon r vaut 2πr (ou π × diamètre) ; l’aire du disque qu’il délimite vaut πr². Le cercle est la ligne, le disque la surface.
Mis à jour le 4 min de lecture
Le cercle est la courbe la plus régulière du plan : chacun de ses points est à la même distance du centre. Roues, horloges, pièces de monnaie, orbites approchées des planètes : il est partout. Ses deux formules fondamentales font intervenir le nombre π, rapport constant entre la circonférence et le diamètre, qui vaut environ 3,14159.
Le vocabulaire du cercle
| Terme | Définition |
|---|---|
| Centre | Point O équidistant de tous les points du cercle |
| Rayon r | Distance du centre à un point du cercle (ou segment correspondant) |
| Diamètre d | Corde passant par le centre ; d = 2r |
| Corde | Segment reliant deux points du cercle |
| Arc | Portion de cercle comprise entre deux points |
| Tangente | Droite qui touche le cercle en un seul point, perpendiculaire au rayon en ce point |
| Secteur | Portion de disque délimitée par deux rayons (« part de tarte ») |
| Segment circulaire | Portion de disque entre une corde et un arc |
| Angle au centre | Angle dont le sommet est O |
| Angle inscrit | Angle dont le sommet est sur le cercle |
Les formules
| Grandeur | Formule | Avec le diamètre |
|---|---|---|
| Périmètre (circonférence) | P = 2 × π × r | P = π × d |
| Aire du disque | A = π × r² | A = π × d² / 4 |
| Longueur d’un arc d’angle α (en degrés) | L = 2πr × α / 360 | |
| Aire d’un secteur d’angle α (en degrés) | A = πr² × α / 360 | |
| En radians (angle θ) | L = r × θ et A = r² × θ / 2 |
Cercle ou disque : ne pas confondre
On parle du périmètre d’un cercle (une longueur, en cm, m…) et de l'aire d’un disque (une surface, en cm², m²…). L’expression « aire du cercle » est courante mais impropre : une ligne n’a pas d’aire. De même, en dimension 3, on distingue la sphère (surface) et la boule (volume), voir la sphère et la boule.
Propriétés géométriques
- Tangente : elle est perpendiculaire au rayon au point de contact. C’est ce que l’on utilise pour tracer une tangente à l’équerre.
- Corde et médiatrice : la médiatrice de toute corde passe par le centre. Deux médiatrices de cordes suffisent donc à retrouver le centre d’un cercle.
- Angle inscrit : il mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.
- Demi-cercle : un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Tout triangle dont un côté est un diamètre et le troisième sommet sur le cercle est un triangle rectangle.
- Trois points non alignés déterminent un cercle unique, le cercle circonscrit au triangle qu’ils forment (voir les droites remarquables du triangle).
Équation d’un cercle en repère
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation :
(x − a)² + (y − b)² = r²
Le cercle de centre l’origine et de rayon 1 est le cercle trigonométrique, base de la trigonométrie. Voir aussi repère et coordonnées.
Un peu d’histoire
Archimède (IIIe siècle av. J.-C.) a démontré que l’aire du disque est égale à celle d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont le rayon et la circonférence, soit ½ × r × 2πr = πr². En encadrant le cercle entre des polygones à 96 côtés, il a obtenu 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7. La quadrature du cercle, construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, a été démontrée impossible en 1882 par Ferdinand von Lindemann, qui a prouvé que π est transcendant.
Questions fréquentes
Comment calculer le périmètre d’un cercle ?
On multiplie le diamètre par π, ou le rayon par 2π. Un cercle de rayon 5 cm a un périmètre de 2 × π × 5 ≈ 31,4 cm.
Comment calculer l’aire d’un disque à partir du diamètre ?
On divise le diamètre par 2 pour obtenir le rayon, puis on calcule π × r². Ou directement π × d² / 4.
Quelle est la différence entre rayon et diamètre ?
Le rayon relie le centre à un point du cercle ; le diamètre traverse le cercle en passant par le centre. Le diamètre est le double du rayon.
Pourquoi l’aire est-elle en unités carrées ?
Parce qu’elle mesure une surface : multiplier π par un rayon au carré (cm × cm) donne des cm².