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Le parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Ses diagonales se coupent en leur milieu et son aire vaut base × hauteur.
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Le parallélogramme est le quadrilatère de référence : le rectangle, le losange et le carré en sont des cas particuliers. Sa propriété fondamentale, des diagonales qui se coupent en leur milieu, en fait la figure de base des démonstrations de géométrie au collège et le support géométrique des vecteurs.
Les propriétés
Si ABCD est un parallélogramme, alors :
| Élément | Propriété |
|---|---|
| Côtés | Côtés opposés de même longueur : AB = DC et AD = BC |
| Angles opposés | Égaux : Â = Ĉ et B̂ = D̂ |
| Angles consécutifs | Supplémentaires : Â + B̂ = 180° |
| Diagonales | Se coupent en leur milieu O |
| Symétrie | O est centre de symétrie de la figure |
| Vecteurs | AB→ = DC→ |
Un parallélogramme quelconque n’a aucun axe de symétrie. Ses diagonales n’ont en général ni la même longueur ni ne sont perpendiculaires.
Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Il suffit de l’une des conditions suivantes (pour un quadrilatère non croisé) :
- ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (définition) ;
- ses diagonales se coupent en leur milieu ;
- ses côtés opposés ont la même longueur deux à deux ;
- deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
- ses angles opposés sont égaux deux à deux.
La condition 2 est la plus utilisée, notamment en repère : on vérifie que les milieux des deux diagonales ont les mêmes coordonnées.
Aire et périmètre
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Aire | A = b × h (base × hauteur relative à cette base) |
| Aire (deux côtés et un angle) | A = a × b × sin(α) |
| Périmètre | P = 2 × (a + b) |
La hauteur est la distance entre deux côtés opposés, mesurée perpendiculairement. Ce n’est pas la longueur du côté oblique.
Pourquoi b × h ? On découpe un triangle à une extrémité et on le recolle de l’autre côté : on obtient un rectangle de mêmes base et hauteur.
Diagonales : le théorème du parallélogramme
Dans un parallélogramme de côtés a et b et de diagonales p et q :
p² + q² = 2(a² + b²)
La somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés. Pour un rectangle, on retrouve le théorème de Pythagore appliqué deux fois.
Les parallélogrammes particuliers
| Ajout | Figure obtenue |
|---|---|
| Un angle droit, ou des diagonales de même longueur | Rectangle |
| Deux côtés consécutifs égaux, ou des diagonales perpendiculaires | Losange |
| Les deux | Carré |
Voir carré, rectangle et losange et la classification des quadrilatères.
Parallélogramme et vecteurs
L’égalité AB→ = DC→ signifie que ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). C’est aussi la règle du parallélogramme pour additionner deux vecteurs de même origine : AB→ + AD→ = AC→, la diagonale. En physique, elle sert à composer deux forces appliquées au même point.
Questions fréquentes
Un rectangle est-il un parallélogramme ?
Oui. Ses côtés opposés sont parallèles. Il en est un cas particulier, avec quatre angles droits.
Un parallélogramme a-t-il des axes de symétrie ?
Un parallélogramme quelconque n’en a aucun. Il possède seulement un centre de symétrie, le point d’intersection des diagonales.
Comment calculer la hauteur d’un parallélogramme ?
Si l’on connaît l’aire et la base : h = A / b. Si l’on connaît un côté oblique a et l’angle α avec la base : h = a × sin(α).
Les diagonales d’un parallélogramme sont-elles égales ?
Non en général. Elles ne sont égales que si le parallélogramme est un rectangle.