Sciences · Mathématiques
Carré, rectangle et losange
Le rectangle a quatre angles droits, le losange quatre côtés égaux, et le carré cumule les deux. Tous trois sont des parallélogrammes dont les diagonales se coupent en leur milieu.
Mis à jour le 3 min de lecture
Le carré, le rectangle et le losange sont les trois parallélogrammes particuliers. Chacun ajoute une contrainte au parallélogramme : des angles droits pour le rectangle, des côtés égaux pour le losange, les deux pour le carré. Ces contraintes se traduisent par des propriétés précises des diagonales, qui permettent de les reconnaître et de les démontrer.
Comparaison des trois figures
| Propriété | Rectangle | Losange | Carré |
|---|---|---|---|
| Côtés opposés parallèles | Oui | Oui | Oui |
| 4 côtés égaux | Non (sauf carré) | Oui | Oui |
| 4 angles droits | Oui | Non (sauf carré) | Oui |
| Diagonales de même milieu | Oui | Oui | Oui |
| Diagonales de même longueur | Oui | Non | Oui |
| Diagonales perpendiculaires | Non | Oui | Oui |
| Diagonales bissectrices des angles | Non | Oui | Oui |
| Axes de symétrie | 2 (médiatrices des côtés) | 2 (les diagonales) | 4 |
| Centre de symétrie | Oui | Oui | Oui |
Le rectangle
Formules : A = L × l, P = 2 × (L + l), diagonale d = √(L² + l²) (par le théorème de Pythagore).
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle :
- il a trois angles droits (le quatrième l’est alors forcément) ;
- c’est un parallélogramme qui a un angle droit ;
- c’est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
Le losange
Formules (diagonales D et d, côté a) : A = D × d / 2, P = 4a, a = √((D/2)² + (d/2)²).
Les diagonales découpent le losange en quatre triangles rectangles identiques, ce qui explique la formule d’aire : le losange occupe la moitié du rectangle de côtés D et d.
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un losange :
- il a quatre côtés égaux ;
- c’est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux ;
- c’est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires.
Le carré
Formules (côté a) : A = a², P = 4a, diagonale d = a√2 ≈ 1,414 a, et A = d² / 2.
Pour démontrer qu’un quadrilatère est un carré : montrer que c’est un rectangle et un losange, par exemple un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires.
Les erreurs fréquentes
- Croire qu’un carré n’est pas un rectangle : il en est un cas particulier, comme il est un losange particulier.
- Croire que les diagonales du rectangle sont perpendiculaires : elles ne le sont que pour le carré.
- Confondre l’axe de symétrie : dans le rectangle, ce sont les médiatrices des côtés, pas les diagonales ; dans le losange, ce sont les diagonales.
- Appliquer
L × lau losange : son aire estD × d / 2, ou base × hauteur comme tout parallélogramme.
À même périmètre, quelle aire ?
Parmi tous les rectangles de périmètre donné, c’est le carré qui a la plus grande aire. Avec 40 m de clôture, un rectangle de 15 × 5 m enclôt 75 m², un carré de 10 × 10 m en enclôt 100 m². (Un disque ferait encore mieux : environ 127 m².) Voir aussi les quadrilatères.
Questions fréquentes
Un losange est-il un carré ?
Pas toujours. Un losange devient un carré seulement s’il a un angle droit, ou si ses diagonales ont la même longueur.
Quelle est la différence entre un losange et un carré ?
Tous deux ont quatre côtés égaux, mais le carré a en plus quatre angles droits. Les diagonales du carré ont la même longueur ; celles du losange en général non.
Comment calculer l’aire d’un losange sans les diagonales ?
Comme pour tout parallélogramme : base × hauteur, la hauteur étant la distance entre deux côtés opposés. Ou a² × sin(α) si l’on connaît le côté a et un angle α.
Combien un carré a-t-il d’axes de symétrie ?
Quatre : les deux diagonales et les deux médiatrices des côtés.