Sciences · Mathématiques
L’histoire du zéro
Le zéro est né en deux temps : comme signe marquant une position vide chez les Babyloniens, puis comme véritable nombre en Inde, où Brahmagupta en fixe les règles de calcul en 628. Il gagne l’Europe par le monde arabe.
Mis à jour le 6 min de lecture
Aucun nombre ne semble plus évident que zéro, et pourtant aucun n’a été aussi long à inventer. Les Égyptiens, les Grecs et les Romains, qui ont bâti des pyramides, démontré des théorèmes et administré un empire, n’en avaient pas. Son apparition est l’une des grandes inventions de l’humanité : sans lui, ni écriture des nombres commode, ni algèbre, ni informatique.
Pourquoi le zéro est-il nécessaire ?
Dans les numérations additives, comme celle des Romains, chaque symbole a une valeur fixe et l’on additionne : CCV = 205. Aucun besoin de zéro, mais les calculs écrits sont malaisés (voir chiffres romains).
Dans une numération de position, comme la nôtre, la valeur d’un chiffre dépend de sa place : dans 205, le 2 vaut deux centaines. Il faut alors un signe pour indiquer qu’une position est vide — ici, l’absence de dizaines. Sans lui, 205 et 25 s’écriraient de la même manière.
Les étapes de l’invention
| Époque | Civilisation | Apport |
|---|---|---|
| IIe millénaire av. J.-C. | Babylone | numération de position en base 60, mais sans signe pour la position vide : on laisse un espace, source d’ambiguïtés |
| vers le IIIe siècle av. J.-C. | Babylone (époque séleucide) | un signe (deux clous inclinés) marque une position vide à l’intérieur d’un nombre |
| IIe siècle | Grèce (Ptolémée) | les astronomes notent un petit cercle pour une position vide dans les tables en base 60 |
| autour du début de notre ère | Mésoamérique, puis Mayas | zéro de position dans le calendrier du Compte long, figuré notamment par un coquillage |
| vers le Ve siècle | Inde | numération décimale de position avec un signe pour zéro (un point, puis un petit cercle) |
| 628 | Inde (Brahmagupta) | premières règles de calcul avec zéro, traité comme un nombre |
| 876 | Inde (Gwalior) | plus ancienne inscription datée et incontestée montrant notre zéro en forme de cercle |
| IXe siècle | monde arabe (al-Khwârizmî) | diffusion du système indien dans le monde arabo-musulman |
| 1202 | Europe (Fibonacci) | le Liber abaci popularise les chiffres indo-arabes et le zéro |
Le zéro babylonien et le zéro maya ne servaient qu’à marquer une position, pas à calculer. C’est en Inde que le zéro devient un nombre à part entière.
L’Inde : le zéro devient un nombre
Les mathématiciens indiens combinent trois idées : une numération décimale, un principe de position et un signe pour zéro, appelé śūnya (« le vide »). Le manuscrit de Bakhshali, découvert en 1881 au Pakistan actuel, utilise un point pour zéro ; sa datation reste débattue, une analyse au carbone 14 publiée en 2017 attribuant à certains feuillets une ancienneté de plusieurs siècles avant les autres.
En 628, l’astronome et mathématicien Brahmagupta, dans le Brāhmasphuṭasiddhānta, énonce des règles pour calculer avec zéro et avec les nombres négatifs (« dettes ») :
- un nombre plus zéro est égal à ce nombre ;
- un nombre moins lui-même donne zéro ;
- un nombre multiplié par zéro donne zéro.
Il bute sur la division : il affirme que zéro divisé par zéro vaut zéro, ce qui est aujourd’hui considéré comme faux (l’opération n’est pas définie). Au XIIe siècle, Bhāskara II suggère qu’un nombre divisé par zéro est une quantité infinie, idée elle aussi abandonnée.
Le monde arabe : ṣifr
Au IXe siècle, à Bagdad, le mathématicien persan al-Khwârizmî, dont le nom a donné le mot algorithme, rédige un traité sur le calcul indien qui fait connaître le système dans le monde arabo-musulman et, par ses traductions latines, en Europe. Le śūnya indien y devient ṣifr, « vide » (voir âge d’or islamique).
Ce mot a donné en français deux termes :
- chiffre, par le latin médiéval cifra ;
- zéro, par l’italien zefiro (abrégé en zero), issu du latin zephirum employé par Fibonacci.
L’arrivée en Europe
Vers la fin du Xe siècle, le moine Gerbert d’Aurillac, futur pape Sylvestre II, introduit en Europe les chiffres indo-arabes sur des jetons d’abaque, mais sans le zéro. C’est en 1202 que Fibonacci (Léonard de Pise), qui a appris le calcul indien dans le port de Béjaïa, publie le Liber abaci : il y présente les neuf chiffres et le signe 0, « que les Arabes appellent zephirum » (voir suite de Fibonacci).
La diffusion est lente. Les marchands italiens adoptent le système pour sa commodité, mais il suscite la méfiance : un chiffre se falsifie facilement (un 0 se transforme en 6 ou en 9). En 1299, un statut de la corporation des changeurs de Florence interdit d’employer ces chiffres dans les livres de comptes. Il faut attendre les XVe et XVIe siècles et le développement de l’imprimerie pour que les chiffres indo-arabes s’imposent en Europe.
Les propriétés du nombre zéro
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Élément neutre de l’addition | a + 0 = a |
| Élément absorbant de la multiplication | a × 0 = 0 |
| Produit nul | si a × b = 0, alors a = 0 ou b = 0 (voir équations) |
| Division par zéro | non définie : a / 0 n’a pas de sens |
| Zéro divisé par un nombre non nul | 0 / a = 0 |
| Parité | zéro est pair (il est divisible par 2 : 0 = 2 × 0) |
| Signe | zéro est à la fois positif et négatif au sens large, ni strictement positif ni strictement négatif |
| Puissance | a⁰ = 1 pour a ≠ 0 ; 0ⁿ = 0 pour n ≥ 1 (voir puissances) |
| Factorielle | 0! = 1, par convention cohérente |
Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?
Diviser 12 par 3, c’est chercher le nombre qui, multiplié par 3, donne 12 : c’est 4. Diviser 12 par 0 reviendrait à chercher un nombre qui, multiplié par 0, donne 12. Or tout nombre multiplié par 0 donne 0 : il n’existe donc aucune réponse. Et 0 / 0 en aurait une infinité. Dans les deux cas, l’opération n’est pas définie.
Zéro aujourd’hui
- En informatique, tout repose sur deux chiffres, 0 et 1 (voir système binaire).
- En physique, le zéro absolu désigne la température la plus basse possible.
- Dans le calendrier, il n’y a pas d’année zéro : on passe de l’an 1 av. J.-C. à l’an 1 apr. J.-C., le calendrier ayant été fixé au VIe siècle, avant l’adoption du zéro en Europe. Les astronomes, eux, utilisent une année 0.
- En France, l’ensemble des entiers naturels ℕ commence par 0 (voir ensembles de nombres).
Questions fréquentes
Qui a inventé le zéro ?
Pas une seule personne. Les Babyloniens puis les Mayas ont utilisé un signe pour marquer une position vide ; les mathématiciens indiens ont fait du zéro un nombre, dont Brahmagupta donne les règles de calcul en 628. Le zéro moderne vient de l’Inde, par l’intermédiaire du monde arabe.
Les Romains connaissaient-ils le zéro ?
Non. Leur numération additive n’en avait pas besoin et ne comportait aucun signe pour le zéro. On utilisait parfois le mot nulla pour indiquer l’absence de quantité.
Zéro est-il un nombre pair ?
Oui. Il est divisible par 2 sans reste et se situe entre deux nombres impairs, −1 et 1.
Pourquoi n’y a-t-il pas d’année zéro ?
Parce que le moine Denys le Petit a établi au VIe siècle la numérotation des années à partir de la naissance supposée du Christ, en commençant à l’an 1, à une époque où le zéro était inconnu en Europe.