Sciences · Mathématiques
Les matrices
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisé en lignes et en colonnes. On peut les additionner, les multiplier et parfois les inverser ; elles servent à résoudre des systèmes et à transformer des images.
Mis à jour le 5 min de lecture
Les images en 3D d’un jeu vidéo, le classement des pages par un moteur de recherche, les prévisions météorologiques, l’entraînement des réseaux de neurones et la résolution de grands systèmes d’équations ont un outil commun : les matrices. Ce sont de simples tableaux de nombres, mais munis de règles de calcul qui en font l’un des objets les plus utiles des mathématiques appliquées.
Exemple d’une matrice A de taille 2 × 3 :
| colonne 1 | colonne 2 | colonne 3 | |
|---|---|---|---|
| ligne 1 | 1 | 4 | −2 |
| ligne 2 | 0 | 3 | 5 |
Ici a₁₂ = 4 (ligne 1, colonne 2) et a₂₃ = 5.
Le mot matrix (« matrice ») est introduit en 1850 par le mathématicien anglais James Joseph Sylvester ; Arthur Cayley en développe l’algèbre en 1858. Des tableaux de nombres servaient toutefois déjà à résoudre des systèmes dans le traité chinois des Neuf Chapitres, il y a environ deux mille ans.
Les matrices particulières
| Nom | Description | Exemple (2 × 2) |
|---|---|---|
| Matrice nulle | tous les coefficients valent 0 | [[0, 0], [0, 0]] |
| Matrice identité Iₙ | 1 sur la diagonale, 0 ailleurs | [[1, 0], [0, 1]] |
| Matrice diagonale | coefficients nuls hors de la diagonale | [[3, 0], [0, −2]] |
| Matrice ligne / colonne | une seule ligne ou une seule colonne | [2, 5, 1] |
| Matrice triangulaire | coefficients nuls d’un côté de la diagonale | [[1, 4], [0, 3]] |
| Matrice transposée ᵗA | les lignes deviennent colonnes | ᵗ[[1, 2], [3, 4]] = [[1, 3], [2, 4]] |
La notation [[a, b], [c, d]] désigne ici la matrice de première ligne (a, b) et de deuxième ligne (c, d).
Les opérations
Addition et multiplication par un nombre
On additionne deux matrices de même taille coefficient par coefficient ; on multiplie une matrice par un réel en multipliant chaque coefficient.
[[1, 2], [3, 4]] + [[5, 0], [−1, 2]] = [[6, 2], [2, 6]] et 3 × [[1, 2], [3, 4]] = [[3, 6], [9, 12]]
Le produit de deux matrices
C’est l’opération clé. Le produit A × B n’est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Le coefficient de la ligne i et de la colonne j du produit s’obtient en multipliant terme à terme la ligne i de A par la colonne j de B, puis en additionnant.
Propriétés importantes :
- le produit est associatif :
(AB)C = A(BC); - il n’est pas commutatif : en général
AB ≠ BA. Dans l’exemple,BA = [[23, 34], [31, 46]]; - la matrice identité est l’élément neutre :
A × I = I × A = A; - le produit de deux matrices non nulles peut être nul, contrairement aux nombres.
Le déterminant
Le déterminant d’une matrice carrée est un nombre qui indique notamment si elle est inversible. Pour une matrice 2 × 2 :
det [[a, b], [c, d]] = a × d − b × c
Exemple : det [[1, 2], [3, 4]] = 1 × 4 − 2 × 3 = −2.
Géométriquement, sa valeur absolue est l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs colonnes (un volume en dimension 3). Un déterminant nul signifie que ces vecteurs sont alignés : la transformation « écrase » le plan sur une droite.
La matrice inverse
Une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice A⁻¹ telle que A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I. C’est le cas si et seulement si son déterminant est non nul. Pour une matrice 2 × 2 :
[[a, b], [c, d]]⁻¹ = 1 / (ad − bc) × [[d, −b], [−c, a]]
Résoudre un système d’équations
Un système linéaire s’écrit sous forme matricielle AX = B.
Pour de grands systèmes, on utilise plutôt la méthode du pivot de Gauss, qui transforme le système en système triangulaire. Voir aussi équations.
Matrices et transformations géométriques
Une matrice 2 × 2 transforme les points du plan : multiplier les coordonnées [x, y] par la matrice donne les coordonnées de l’image.
| Transformation | Matrice |
|---|---|
| Symétrie par rapport à l’axe des abscisses | [[1, 0], [0, −1]] |
| Agrandissement de rapport k | [[k, 0], [0, k]] |
| Rotation d’angle θ autour de l’origine | [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] (voir trigonométrie) |
Enchaîner deux transformations revient à multiplier leurs matrices, ce qui explique la non-commutativité : tourner puis étirer ne donne pas le même résultat qu’étirer puis tourner. Les cartes graphiques des ordinateurs effectuent des milliards de produits de matrices par seconde pour afficher les scènes 3D.
Applications
- Graphisme et jeux vidéo : positionnement, rotation et projection des objets en 3D.
- Intelligence artificielle : un réseau de neurones est pour l’essentiel une succession de produits de matrices.
- Moteurs de recherche : l’algorithme PageRank, à l’origine de Google, calcule l’importance des pages à partir d’une immense matrice de liens.
- Probabilités : les chaînes de Markov décrivent l’évolution d’un système par une matrice de transition (voir probabilités).
- Économie : le modèle entrées-sorties de Wassily Leontief (prix Nobel d’économie 1973) décrit les échanges entre secteurs par une matrice.
- Physique : mécanique quantique, optique, calcul des structures.
- Traitement d’image : une image numérique est une matrice de pixels ; filtres et compressions sont des opérations matricielles.
Questions fréquentes
Comment multiplier deux matrices ?
On multiplie chaque ligne de la première par chaque colonne de la seconde, terme à terme, puis on additionne. Le nombre de colonnes de la première doit égaler le nombre de lignes de la seconde.
Pourquoi le produit de matrices n’est-il pas commutatif ?
Parce qu’il correspond à l’enchaînement de transformations, et que l’ordre des transformations change en général le résultat.
Quand une matrice est-elle inversible ?
Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est différent de zéro.
À quoi servent les matrices dans la vie réelle ?
À l’affichage 3D, à l’intelligence artificielle, au référencement des pages web, aux prévisions, à l’économie et au traitement des images.