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Prendre une fraction d’une quantité
Pour calculer les a/b d’une quantité, on la divise par b puis on multiplie le résultat par a. Les 3/4 de 20 valent 20 ÷ 4 × 3 = 15. Cela revient à multiplier la quantité par la fraction.
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« Les deux tiers de la classe », « un quart du gâteau », « les 3/5 du budget » : prendre une fraction d’une quantité est la première utilisation concrète des fractions. Elle est travaillée en CM1-CM2 avec des fractions simples, puis formalisée en 6e-5e comme le produit d’un nombre par une fraction.
Méthode pas à pas
- Diviser la quantité par le dénominateur : on obtient la valeur d’une part.
- Multiplier par le numérateur : on prend le nombre de parts voulu.
- Écrire le résultat avec l’unité de la quantité.
Exemple : les 3/4 de 20 €. Une part : 20 ÷ 4 = 5 €. Trois parts : 5 × 3 = 15 €.
Trois calculs équivalents
| Méthode | Calcul pour 2/3 de 45 | Quand l’utiliser |
|---|---|---|
| Diviser puis multiplier | 45 ÷ 3 × 2 = 30 | la division tombe juste |
| Multiplier puis diviser | 45 × 2 ÷ 3 = 90 ÷ 3 = 30 | la division par b ne tombe pas juste au départ |
| Écriture décimale | 0,4 × 45 = 18 (pour 2/5) | fraction décimale simple |
Les trois donnent le même résultat. La troisième ne marche bien que si la fraction a une écriture décimale exacte : 2/3 = 0,666… donne un résultat arrondi.
Exemples chiffrés
- La moitié (1/2) de 36 :
36 ÷ 2 = 18. - Le quart (1/4) de 1 h :
60 min ÷ 4 = 15 min. - Les 5/8 de 400 g :
400 ÷ 8 × 5 = 250 g. - Les 7/10 de 3 m :
3 × 0,7 = 2,1 m. - Les 3/4 de 2/5 :
3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10(voir multiplier des fractions).
Fractions et pourcentages
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : prendre 30 % de 80, c’est prendre les 30/100 de 80, soit 80 ÷ 100 × 30 = 24. Voir calculer un pourcentage.
Le problème inverse : retrouver le tout
Si les 3/5 d’une somme valent 120 €, une part (1/5) vaut 120 ÷ 3 = 40 €, et le tout (5/5) vaut 40 × 5 = 200 €. On peut aussi diviser par la fraction : 120 ÷ (3/5) = 120 × 5/3 = 200.
Fractions successives et reste
Exemple classique : Paul dépense 1/4 de son argent de poche en livres et 1/3 en sorties. Il avait 60 €.
- Livres :
60 ÷ 4 = 15 €. - Sorties :
60 ÷ 3 = 20 €. - Reste :
60 − 15 − 20 = 25 €, soit25/60 = 5/12de la somme.
Attention à la formulation : « 1/3 du reste » n’est pas « 1/3 de la somme ». Si les sorties représentent 1/3 de ce qui reste après les livres, elles coûtent 45 ÷ 3 = 15 €.
Erreurs fréquentes
- Diviser par le numérateur : les 3/4 de 20 ne valent pas
20 ÷ 3 × 4. - Additionner au lieu de multiplier : « les 2/3 de 9 » n’est pas
9 + 2/3. - Confondre « du total » et « du reste » dans les problèmes en plusieurs étapes.
- Arrondir trop tôt en passant par l’écriture décimale de 1/3 ou 2/3.
Exercice corrigé
- Les 2/5 de 35 :
35 ÷ 5 × 2 =14. - Les 3/8 de 1 kg :
1 000 g ÷ 8 × 3 =375 g. - Les 5/6 d’une heure :
60 ÷ 6 × 5 =50 min. - Une classe de 28 élèves compte 4/7 de filles :
28 ÷ 7 × 4 =16 filles et 12 garçons. - Les 2/3 d’un réservoir représentent 40 L. Contenance totale :
40 ÷ 2 × 3 =60 L.
Questions fréquentes
Comment calculer les 3/4 d’un nombre ?
On divise le nombre par 4, puis on multiplie par 3. Pour 48 : 48 ÷ 4 = 12, 12 × 3 = 36.
Pourquoi « de » veut-il dire « multiplié par » ?
Parce que prendre les a/b d’une quantité revient à la multiplier par a/b. Cette règle s’étend aux pourcentages (« 20 % de ») et aux fractions de fractions.
Faut-il diviser d’abord ou multiplier d’abord ?
Le résultat est le même. On divise d’abord quand la division tombe juste, ce qui garde des nombres petits ; sinon on multiplie d’abord.
Comment retrouver une quantité dont on connaît une fraction ?
On divise par le numérateur pour obtenir une part, puis on multiplie par le dénominateur. C’est un raisonnement de proportionnalité.