Sciences · Mathématiques
Les priorités opératoires
Dans un calcul, on effectue d’abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions de gauche à droite, et enfin les additions et soustractions de gauche à droite. Ainsi 2 + 3 × 4 = 14.
Mis à jour le 4 min de lecture
Combien font 2 + 3 × 4 ? 20 si l’on calcule de gauche à droite, 14 si l’on commence par la multiplication. La bonne réponse est 14. Pour qu’une expression ait un seul sens, les mathématiciens ont fixé une convention universelle : les priorités opératoires. Les calculatrices scientifiques, les tableurs et les langages de programmation l’appliquent tous.
Les règles dans l’ordre
| Rang | Opérations | Sens |
|---|---|---|
| 1 | Parenthèses (et crochets), en commençant par les plus intérieures | |
| 2 | Puissances (et racines) | |
| 3 | Multiplications et divisions | de gauche à droite, à égalité de priorité |
| 4 | Additions et soustractions | de gauche à droite, à égalité de priorité |
Exemples pas à pas
Le « de gauche à droite » : un point clé
Quand des opérations de même rang se suivent, on les effectue dans l’ordre de lecture.
| Expression | Calcul correct | Erreur fréquente |
|---|---|---|
20 − 5 + 3 | 15 + 3 = 18 | 20 − 8 = 12 |
24 ÷ 4 × 2 | 6 × 2 = 12 | 24 ÷ 8 = 3 |
100 ÷ 10 ÷ 5 | 10 ÷ 5 = 2 | 100 ÷ 2 = 50 |
La soustraction et la division ne sont pas associatives : changer le regroupement change le résultat. D’où l’importance de la règle.
Les puissances et le signe moins
La puissance est prioritaire sur le signe « moins » qui la précède :
−3² = −(3²) = −9;(−3)² = (−3) × (−3) = 9;2 × 3² = 2 × 9 = 18, et non6² = 36.
Voir puissances.
Les traits de fraction
Un trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur avant de diviser.
(8 + 4) / (2 + 1), écrit avec un trait de fraction, vaut 12 / 3 = 4. Écrit sur une ligne sans parenthèses, 8 + 4 / 2 + 1 vaut 8 + 2 + 1 = 11. À la calculatrice ou dans un tableur, il faut donc ajouter les parenthèses que le trait de fraction rend implicites. Voir fractions.
Les multiplications sous-entendues
En algèbre, on omet souvent le signe × : 3x signifie 3 × x, 2(a + b) signifie 2 × (a + b). Le développement suit la distributivité : 2(a + b) = 2a + 2b.
Le cas célèbre de 6 ÷ 2(1 + 2)
Cette expression circule régulièrement sur les réseaux sociaux, avec deux camps :
- en appliquant strictement les règles :
6 ÷ 2 × 3 = 3 × 3 = 9; - en considérant que la multiplication implicite
2(1 + 2)forme un bloc prioritaire :6 ÷ 6 = 1.
Les deux lectures se rencontrent, y compris dans certaines calculatrices et dans des usages scientifiques où une multiplication juxtaposée est traitée comme prioritaire. La vraie leçon est que l’expression est mal écrite : un mathématicien écrirait (6 ÷ 2)(1 + 2) ou 6 / (2(1 + 2)) selon ce qu’il veut dire. Le signe ÷ est d’ailleurs quasiment absent des écrits mathématiques au-delà de l’école primaire, au profit du trait de fraction.
Calculatrices, tableurs et programmation
- Les calculatrices scientifiques et les tableurs respectent les priorités : dans un tableur,
=2+3*4donne 14. Certaines calculatrices basiques, qui calculent au fur et à mesure de la saisie, donnent 20 : il faut s’en méfier. - Dans les tableurs, le signe moins unaire peut avoir une priorité différente : dans Excel,
=-3^2donne 9, et non −9 comme en mathématiques. - Les langages de programmation suivent les mêmes règles de base, avec leurs propres symboles (
*pour ×,/pour ÷,**ou^pour les puissances selon les langages) et des priorités définies pour d’autres opérateurs (voir langages de programmation).
En cas de doute, ajouter des parenthèses ne coûte rien et lève toute ambiguïté.
Petits exercices corrigés
| Expression | Résultat | Détail |
|---|---|---|
5 + 2 × 3 | 11 | 2 × 3 = 6 ; 5 + 6 |
(5 + 2) × 3 | 21 | 7 × 3 |
18 − 6 ÷ 3 × 2 | 14 | 6 ÷ 3 = 2 ; 2 × 2 = 4 ; 18 − 4 |
4 + 2³ × 5 | 44 | 2³ = 8 ; 8 × 5 = 40 ; 4 + 40 |
(12 − 4) ÷ (1 + 3) | 2 | 8 ÷ 4 |
10 − 3 − 2 | 5 | 7 − 2 |
−2² + 10 | 6 | −4 + 10 |
Questions fréquentes
Faut-il faire la multiplication avant la division ?
Non. Multiplications et divisions ont la même priorité : on les effectue dans l’ordre où elles apparaissent, de gauche à droite. Ainsi 12 ÷ 3 × 2 = 4 × 2 = 8.
Combien font 2 + 3 × 4 ?
14 : on effectue d’abord la multiplication (3 × 4 = 12), puis l’addition.
Les parenthèses sont-elles toujours prioritaires ?
Oui. Elles servent précisément à imposer un ordre de calcul différent de l’ordre conventionnel. On commence par les parenthèses les plus intérieures.
Pourquoi ma calculatrice ne donne-t-elle pas le même résultat ?
Une calculatrice basique calcule souvent au fur et à mesure de la saisie, sans appliquer les priorités. Une calculatrice scientifique, elle, les respecte. En cas de doute, ajoutez des parenthèses.