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Repère et coordonnées
Dans un repère, chaque point du plan est repéré par deux nombres : son abscisse x (position horizontale) et son ordonnée y (position verticale), notés M(x ; y).
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Le repère transforme la géométrie en calcul : un point devient un couple de nombres, une droite une équation, une distance une formule. Cette idée, développée au XVIIe siècle par René Descartes et Pierre de Fermat, a donné naissance à la géométrie analytique. Elle est au cœur des cartes (latitude et longitude), des écrans (pixels repérés par leur colonne et leur ligne), des GPS et des représentations graphiques de fonctions.
Les types de repères
| Repère | Axes | Unités | Usage |
|---|---|---|---|
| Quelconque | Sécants | Quelconques | Milieux, alignement, parallélisme |
| Orthogonal | Perpendiculaires | Différentes possibles | Graphiques de fonctions |
| Orthonormé | Perpendiculaires | Même unité sur les deux axes | Distances, angles, cercles |
Les formules de distance et de perpendicularité ne sont valables que dans un repère orthonormé.
Lire et placer un point
Pour placer M(3 ; −2) : partir de l’origine, avancer de 3 unités vers la droite (abscisse), puis descendre de 2 unités (ordonnée). On écrit toujours l’abscisse en premier.
Les axes partagent le plan en quatre quadrants :
| Quadrant | Signe de x | Signe de y | Exemple |
|---|---|---|---|
| I (en haut à droite) | + | + | (2 ; 5) |
| II (en haut à gauche) | − | + | (−3 ; 1) |
| III (en bas à gauche) | − | − | (−1 ; −4) |
| IV (en bas à droite) | + | − | (3 ; −2) |
Un point de l’axe des abscisses a une ordonnée nulle : (x ; 0). Un point de l’axe des ordonnées a une abscisse nulle : (0 ; y).
Les formules essentielles
Pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :
| Grandeur | Formule | Repère |
|---|---|---|
| Milieu I de [AB] | I((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2) | Quelconque |
| Coordonnées du vecteur AB→ | (xB − xA ; yB − yA) | Quelconque |
| Distance AB | AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²) | Orthonormé |
| Coefficient directeur de (AB) | m = (yB − yA) / (xB − xA) | Quelconque (si xA ≠ xB) |
La formule de distance est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes.
Démontrer en repère
| Pour montrer que… | On vérifie que… |
|---|---|
| ABCD est un parallélogramme | [AC] et [BD] ont le même milieu, ou AB→ = DC→ |
| A, B, C sont alignés | AB→ et AC→ sont colinéaires |
| Un triangle est isocèle | Deux distances sont égales |
| Un triangle est rectangle | La réciproque de Pythagore est vérifiée |
| Un point est sur un cercle | Sa distance au centre vaut le rayon |
Ces méthodes utilisent les vecteurs et l'équation de droite.
Dans l’espace
On ajoute un troisième axe, celui des cotes (z). Un point a trois coordonnées (x ; y ; z) et la distance devient √((xB − xA)² + (yB − yA)² + (zB − zA)²).
Autres systèmes de coordonnées
- Coordonnées polaires : un point est repéré par sa distance r à l’origine et l’angle θ avec l’axe des abscisses ;
x = r cos θ,y = r sin θ(voir la trigonométrie). - Coordonnées géographiques : latitude et longitude, en degrés, sur la sphère terrestre (voir lire une carte).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre abscisse et ordonnée ?
L’abscisse est la coordonnée horizontale (lue sur l’axe horizontal), l’ordonnée la coordonnée verticale. On écrit toujours l’abscisse en premier : (x ; y).
Pourquoi parle-t-on de repère cartésien ?
Du nom de René Descartes, qui a exposé dans La Géométrie (1637) la méthode consistant à traduire les problèmes géométriques en équations. Voir Descartes.
Comment calculer la distance entre deux points ?
Dans un repère orthonormé : √((xB − xA)² + (yB − yA)²). On soustrait les abscisses, les ordonnées, on élève au carré, on additionne et on prend la racine carrée.
Quelles sont les coordonnées de l’origine ?
O(0 ; 0).