Sciences · Mathématiques
Le programme de calcul
Un programme de calcul est une suite d’instructions appliquées à un nombre choisi. On le teste sur des nombres, puis on le traduit par une expression en x pour le simplifier.
Mis à jour le 3 min de lecture
Le programme de calcul est un exercice emblématique du collège, presque systématique au brevet. Il sert de passerelle entre le calcul numérique et le calcul littéral : on teste d’abord des nombres, on remarque une régularité, puis on la démontre avec une lettre.
Exemple de programme
Étape 1 : appliquer le programme à un nombre
On suit les instructions dans l’ordre, en écrivant chaque résultat intermédiaire.
| Étape | Avec 5 | Avec −4 |
|---|---|---|
| Nombre choisi | 5 | −4 |
| + 3 | 8 | −1 |
| × 2 | 16 | −2 |
| − 2 × départ | 16 − 10 = 6 | −2 − (−8) = 6 |
On obtient 6 dans les deux cas. Conjecture : le résultat vaut toujours 6.
Étape 2 : traduire en expression
Avec x comme nombre de départ :
xx + 32(x + 3): les parenthèses sont indispensables, car c’est tout le résultat qui est multiplié.2(x + 3) − 2x
Étape 3 : simplifier et démontrer
On développe : 2(x + 3) − 2x = 2x + 6 − 2x = 6. Le résultat vaut 6 quel que soit x : la conjecture est démontrée. Tester des exemples ne suffit pas à prouver (voir démonstration mathématique) ; le calcul littéral, si.
Étape 4 : trouver le nombre de départ
Programme B : choisir un nombre, le multiplier par 4, soustraire 7. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 25 ?
- Méthode 1 (remonter le programme) : on fait les opérations inverses dans l’ordre inverse.
25 + 7 = 32, puis32 ÷ 4 = 8. - Méthode 2 (équation) :
4x − 7 = 25, donc4x = 32etx = 8. Voir les équations.
La méthode 1 ne fonctionne que si chaque étape est réversible simplement. Avec un carré, l’équation est nécessaire et peut avoir deux solutions.
Avec un carré : programme C
Choisir un nombre, ajouter 1, élever au carré, soustraire le carré du nombre de départ.
- Expression :
(x + 1)² − x². - Avec l'identité remarquable :
x² + 2x + 1 − x² = 2x + 1. - Le résultat est toujours le nombre impair qui suit le double du départ. Pour obtenir 15 :
2x + 1 = 15, d’oùx = 7.
Comparer deux programmes
Deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? On écrit leurs deux expressions et on les simplifie. Si elles sont égales, oui ; sinon, on cherche les valeurs de x pour lesquelles elles le sont, en résolvant une équation.
Programmes et algorithmique
Un programme de calcul se code facilement sous Scratch ou en Python avec une variable modifiée à chaque instruction. Voir l'algorithmique avec Scratch.
Erreurs fréquentes
- Oublier les parenthèses : « ajouter 3 puis multiplier par 2 » s’écrit
2(x + 3), pasx + 3 × 2. - Partir du nombre de départ à chaque étape au lieu du résultat précédent.
- Conclure à partir de deux essais sans démonstration.
- Signe moins devant une parenthèse :
−(x² + 2x)donne−x² − 2x.
Exercice corrigé
Programme : choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 6, diviser par 3, soustraire le nombre de départ.
- Avec 10 :
30 → 36 → 12 → 2. Résultat 2. - Avec −1 :
−3 → 3 → 1 → 2. Résultat 2. - Expression :
(3x + 6) ÷ 3 − x = x + 2 − x =2. Le résultat est toujours 2. - Variante sans la dernière étape :
x + 2. Pour obtenir 9, il faut partir de 7.
Questions fréquentes
Comment écrire un programme de calcul avec x ?
On remplace le nombre choisi par x et on écrit chaque étape à partir de l’expression précédente, en ajoutant des parenthèses dès qu’une opération porte sur tout le résultat.
Comment trouver le nombre de départ d’un programme de calcul ?
On écrit l’expression en x, on l’égale au résultat voulu et on résout l’équation. Pour un programme simple, on peut aussi remonter les étapes avec les opérations inverses.
Comment prouver qu’un programme donne toujours le même résultat ?
En simplifiant son expression littérale : si x disparaît, le résultat ne dépend pas du nombre de départ.
Les programmes de calcul tombent-ils au brevet ?
Oui, ils font partie des exercices les plus fréquents, souvent associés à Scratch ou à un tableur.