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La topologie
La topologie est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés des formes conservées quand on les déforme sans les déchirer ni les recoller. Pour elle, une tasse et un donut sont identiques.
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On surnomme parfois la topologie « la géométrie du caoutchouc ». Elle ne s’intéresse ni aux longueurs, ni aux angles, ni aux aires, mais à ce qui reste quand on étire, tord ou comprime une forme : le nombre de trous, le fait d’être d’un seul tenant, d’avoir un bord ou non, d’être nouée. Ces propriétés paraissent rudimentaires ; elles sont pourtant au cœur de la physique moderne, de la biologie moléculaire et de l’analyse des réseaux.
La tasse et le donut
L’exemple le plus célèbre : une tasse à café (avec une anse) et un tore (la forme d’un donut ou d’une bouée) sont topologiquement équivalents. En pâte à modeler, on peut creuser l’anse de la tasse en faisant grossir l’anse et en résorbant le récipient, sans jamais percer ni coller. Les deux objets ont exactement un trou.
En revanche, une sphère et un tore ne sont pas équivalents : pour passer de l’un à l’autre, il faudrait percer un trou.
Le genre : compter les trous
Pour les surfaces fermées orientables, le genre g est le nombre de « trous » (ou d’anses) :
| Genre | Surfaces équivalentes |
|---|---|
| 0 | Sphère, cube, ballon de rugby, verre, assiette |
| 1 | Tore, tasse à anse, bague, bouée, donut |
| 2 | Bretzel à deux trous, tore à deux trous |
| 3 | Bretzel classique (trois trous) |
Pour un topologue, la lettre O est équivalente à la lettre D (un trou), alors que la lettre B en a deux et la lettre C aucun.
La caractéristique d’Euler
Pour un polyèdre sans trou, Euler a établi que S − A + F = 2 (sommets, arêtes, faces ; voir les solides géométriques). Ce nombre, appelé caractéristique d’Euler χ, ne dépend que de la topologie de la surface :
χ = S − A + F = 2 − 2g
| Surface | Genre | χ |
|---|---|---|
| Sphère | 0 | 2 |
| Tore | 1 | 0 |
| Tore à deux trous | 2 | −2 |
C’est l’un des premiers invariants topologiques : un nombre qui ne change pas quand on déforme la surface, et qui permet donc de prouver que deux surfaces sont différentes.
Les ponts de Königsberg
La topologie est souvent considérée comme née en 1736, quand Leonhard Euler démontre qu’il est impossible de traverser une fois et une seule chacun des sept ponts de Königsberg. Sa preuve ne dépend ni des distances ni de la forme exacte de la ville, seulement de la manière dont les terres sont reliées. Elle fonde aussi la théorie des graphes.
Surfaces étranges
- Le ruban de Möbius n’a qu’une face et qu’un bord.
- La bouteille de Klein n’a ni intérieur ni extérieur : une fourmi peut passer de l'« intérieur » à l'« extérieur » sans franchir de bord. On ne peut la construire sans auto-intersection dans notre espace à trois dimensions.
- Le plan projectif est une autre surface non orientable, essentielle en géométrie.
La théorie des nœuds
Un nœud mathématique est une courbe fermée dans l’espace (une ficelle dont on a soudé les deux bouts). La question est de savoir si deux nœuds peuvent être transformés l’un en l’autre sans couper la ficelle. Le nœud le plus simple après la boucle triviale est le nœud de trèfle. La théorie des nœuds s’applique à l’ADN, dont les brins s’enchevêtrent et que certaines enzymes dénouent (voir l'ADN).
La conjecture de Poincaré
En 1904, Henri Poincaré pose une question : toute variété de dimension 3, fermée, et dans laquelle toute boucle peut être resserrée en un point, est-elle équivalente à la sphère de dimension 3 ? Cette conjecture devient l’un des sept problèmes du millénaire de l’Institut Clay en 2000. Elle est démontrée par le mathématicien russe Grigori Perelman dans des articles publiés en 2002-2003. Il refuse la médaille Fields (2006) puis le prix du millénaire (2010). C’est à ce jour le seul des sept problèmes résolu.
Applications
- Physique : les phases topologiques de la matière ont valu le prix Nobel de physique 2016 à David Thouless, Duncan Haldane et Michael Kosterlitz.
- Réseaux : la connexité d’un réseau (électrique, informatique, routier) est une propriété topologique.
- Cartographie : un plan de métro est une représentation topologique, qui conserve l’ordre des stations et les correspondances mais pas les distances.
- Analyse de données : l’analyse topologique des données repère la « forme » de grands ensembles de points.
Questions fréquentes
Pourquoi dit-on qu’une tasse est un donut pour un topologue ?
Parce que les deux objets ont un seul trou et peuvent être déformés l’un en l’autre sans déchirure ni collage. La topologie ne voit pas de différence entre eux.
Quelle est la différence entre géométrie et topologie ?
La géométrie mesure (longueurs, angles, aires) ; la topologie ignore les mesures et ne retient que les propriétés qualitatives : nombre de trous, connexité, bord, orientation.
Qu’a démontré Perelman ?
La conjecture de Poincaré, et plus largement la conjecture de géométrisation de Thurston, qui classe les variétés de dimension 3.
Combien de trous a une paille ?
Un seul : topologiquement, une paille est un tore très allongé. Ses deux ouvertures sont les deux extrémités d’un même trou.