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Les nombres triangulaires
Le n-ième nombre triangulaire est la somme des entiers de 1 à n, soit Tₙ = n(n + 1)/2. Les premiers sont 1, 3, 6, 10, 15, 21 : autant de points que dans un triangle de n rangées.
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Disposez des boules de billard en triangle : 1 au sommet, 2 dessous, puis 3, 4, 5. Avec 5 rangées, vous en utilisez 15 — exactement le nombre de boules colorées d’un billard américain. Les nombres triangulaires sont les nombres figurés les plus simples, étudiés par les pythagoriciens, et la formule qui les calcule est l’une des plus utiles de l’arithmétique.
La liste des premiers
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tₙ | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 |
Quelques valeurs plus grandes : T₁₀₀ = 5 050, T₃₆ = 666, T₁ ₀₀₀ = 500 500.
La formule et ses démonstrations
L’astuce de Gauss
Selon une anecdote célèbre, le jeune Gauss aurait calculé 1 + 2 + … + 100 en associant les termes extrêmes : 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101… 50 paires de 101, soit 5 050. En général, on écrit la somme deux fois, à l’endroit et à l’envers :
S = 1 + 2 + … + n et S = n + (n − 1) + … + 1.
En additionnant colonne par colonne, on obtient n fois (n + 1), donc 2S = n(n + 1).
La preuve par l’image
Deux triangles de n rangées, l’un retourné, s’emboîtent en un rectangle de n sur n + 1. Chaque triangle contient la moitié des points : n(n + 1)/2.
La preuve par récurrence
T₁ = 1 = 1 × 2 / 2. Si Tₙ = n(n + 1)/2, alors Tₙ₊₁ = Tₙ + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2. Voir le raisonnement par récurrence.
C’est un cas particulier de la somme des termes d’une suite arithmétique (voir les suites numériques).
Propriétés remarquables
- Deux triangulaires consécutifs forment un carré :
Tₙ + Tₙ₋₁ = n². Exemple :10 + 15 = 25. 8Tₙ + 1est un carré :8 × 6 + 1 = 49. Inversement, un entier m est triangulaire si et seulement si8m + 1est un carré parfait.- La somme des cubes est le carré d’un triangulaire :
1³ + 2³ + … + n³ = Tₙ²(1 + 8 + 27 = 36 = 6²). - Tout nombre parfait pair est triangulaire : 6, 28, 496.
- Gauss a démontré en 1796 que tout entier naturel est la somme d’au plus trois nombres triangulaires :
20 = 10 + 10,29 = 28 + 1.
Où les retrouve-t-on ?
Le problème des poignées de main
Dans une réunion de n personnes, chacun serre la main de tous les autres une fois. Nombre de poignées de main : n(n − 1)/2 = Tₙ₋₁. À 10 personnes : 45 poignées de main. C’est aussi le nombre de matchs d’un championnat à n équipes en matchs simples, et le coefficient binomial « 2 parmi n ».
Le triangle de Pascal
Les nombres triangulaires forment la troisième diagonale du triangle de Pascal : 1, 3, 6, 10, 15… Ils valent C(n + 1, 2).
Les quilles et les empilements
Les 10 quilles du bowling forment un triangle de 4 rangées (T₄ = 10). Empiler des boulets en pyramide à base triangulaire donne les nombres tétraédriques (1, 4, 10, 20, 35…), sommes des triangulaires.
Les autres nombres figurés
| Famille | Formule | Premiers termes |
|---|---|---|
| Triangulaires | n(n + 1)/2 | 1, 3, 6, 10, 15 |
| Carrés | n² | 1, 4, 9, 16, 25 |
| Pentagonaux | n(3n − 1)/2 | 1, 5, 12, 22, 35 |
| Hexagonaux | n(2n − 1) | 1, 6, 15, 28, 45 |
Les nombres hexagonaux sont exactement les triangulaires de rang impair.
Erreurs fréquentes
- Oublier de diviser par 2 : la somme de 1 à 10 vaut 55, pas 110.
- Se tromper d’indice dans les poignées de main : avec n personnes, c’est
n(n − 1)/2, pasn(n + 1)/2. - Compter mal les termes d’une somme de a à b : il y en a
b − a + 1.
Questions fréquentes
Comment calculer la somme des nombres de 1 à 100 ?
Avec la formule n(n + 1)/2 : 100 × 101 / 2 = 5 050.
Comment savoir si un nombre est triangulaire ?
On calcule 8m + 1 : si c’est un carré parfait, m est triangulaire. Pour 36 : 8 × 36 + 1 = 289 = 17², donc 36 est triangulaire (T₈).
Pourquoi les appelle-t-on triangulaires ?
Parce qu’ils comptent les points disposés en triangle équilatéral, rangée par rangée.
1 est-il un nombre triangulaire ?
Oui, c’est T₁ : un seul point forme un triangle d’une rangée.