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La conjecture de Goldbach
La conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers, comme 28 = 5 + 23. Énoncée en 1742, vérifiée par ordinateur jusqu’à 4 × 10¹⁸, elle n’est toujours pas démontrée.
Mis à jour le 4 min de lecture
C’est l’un des problèmes les plus simples à énoncer et les plus difficiles à résoudre de toutes les mathématiques. Un élève de collège peut le comprendre et le vérifier sur des exemples ; aucun mathématicien n’a su le démontrer en près de trois siècles. Comme le grand théorème de Fermat avant 1994, il illustre l’écart entre une question élémentaire et la difficulté de sa preuve.
L’origine : une lettre de 1742
Christian Goldbach, mathématicien prussien, écrit en juin 1742 à Leonhard Euler une remarque sur les sommes de nombres premiers (à l’époque, certains comptaient 1 parmi les premiers). Euler lui répond qu’il tient pour certain que tout nombre pair est somme de deux premiers, sans pouvoir le démontrer. La formulation moderne vient de cet échange.
Des exemples
| Nombre pair | Décompositions en somme de deux premiers |
|---|---|
| 4 | 2 + 2 |
| 10 | 3 + 7 ; 5 + 5 |
| 28 | 5 + 23 ; 11 + 17 |
| 48 | 5 + 43 ; 7 + 41 ; 11 + 37 ; 17 + 31 ; 19 + 29 |
| 100 | 3 + 97 ; 11 + 89 ; 17 + 83 ; 29 + 71 ; 41 + 59 ; 47 + 53 |
Sauf pour 4, on utilise deux premiers impairs (2 + un impair donnerait un nombre impair). Le nombre de décompositions a tendance à augmenter avec la taille du nombre : c’est la « comète de Goldbach », nuage de points qui s’élargit quand on le représente graphiquement. Plus le nombre est grand, plus il a de façons de s’écrire, ce qui rend la conjecture très plausible.
Où en est-on ?
Les vérifications par ordinateur
La conjecture forte a été vérifiée pour tous les nombres pairs jusqu’à 4 × 10¹⁸ (calculs coordonnés par Tomás Oliveira e Silva et ses collaborateurs, achevés en 2013). Une vérification, si étendue soit-elle, ne constitue pas une démonstration : il y a une infinité de nombres pairs.
Les résultats démontrés
| Année | Résultat |
|---|---|
| 1923 | Hardy et Littlewood : la conjecture faible est vraie pour les nombres assez grands, si l’on admet une généralisation de l'hypothèse de Riemann |
| 1930 | Schnirelmann : tout entier ≥ 2 est somme d’un nombre borné de premiers |
| 1937 | Vinogradov : tout impair assez grand est somme de trois premiers, sans hypothèse |
| 1973 | Chen Jingrun : tout pair assez grand est somme d’un premier et d’un nombre ayant au plus deux facteurs premiers |
| 2013 | Harald Helfgott : démonstration complète de la conjecture faible (tout impair > 5 est somme de trois premiers) |
La preuve de Helfgott, diffusée en 2013, combine des méthodes analytiques et des vérifications informatiques massives pour les « petits » nombres. Elle est largement acceptée par la communauté ; sa publication formelle complète a pris plusieurs années. La conjecture forte implique la faible (on ajoute 3 à un pair), mais pas l’inverse : elle reste ouverte.
Pourquoi est-ce si difficile ?
Les nombres premiers sont définis par la multiplication (ils n’ont pas de diviseur), alors que la conjecture porte sur l'addition. Relier ces deux structures est notoirement délicat ; les nombres premiers jumeaux posent un problème de même nature. Les méthodes probabilistes prédisent qu’un nombre pair n a environ n / (ln n)² décompositions (à une constante près), mais transformer cette estimation en certitude pour tous les nombres échappe aux outils actuels.
Erreurs fréquentes
- Croire qu’elle est démontrée : seule la version faible l’est.
- Prendre une vérification pour une preuve : un seul contre-exemple, même au-delà de 10¹⁸, suffirait à la réfuter.
- Compter 1 comme premier : 1 n’est pas premier, donc
4 = 1 + 3ne compte pas.
Questions fréquentes
La conjecture de Goldbach est-elle démontrée ?
La version forte (nombres pairs, deux premiers) non. La version faible (nombres impairs, trois premiers) a été démontrée par Harald Helfgott en 2013.
Jusqu’où a-t-elle été vérifiée ?
Pour tous les nombres pairs jusqu’à 4 × 10¹⁸, sans aucun contre-exemple.
Y a-t-il un prix pour la démontrer ?
En 2000, un éditeur britannique a offert un million de dollars pour une preuve avant 2002, sans succès. Elle ne figure pas parmi les problèmes du prix du millénaire du Clay Institute.
Pourquoi le nombre 2 est-il exclu ?
Parce que 2 ne peut pas s’écrire comme somme de deux premiers, le plus petit premier étant 2 lui-même (2 + 2 = 4).