Sciences · Mathématiques
Échantillonnage et sondages
Un sondage interroge un échantillon pour estimer une proportion dans toute une population. Pour 1 000 personnes tirées au hasard, la marge d’erreur est d’environ 3 points, avec 95 % de confiance.
Mis à jour le 4 min de lecture
Comment peut-on connaître l’opinion de millions de personnes en en interrogeant seulement un millier ? La réponse est mathématique : si l’échantillon est bien choisi, la proportion observée est proche de la proportion réelle, et l’on sait mesurer cette proximité. L’échantillonnage est le fondement des sondages d’opinion, mais aussi des contrôles de qualité industriels, des essais cliniques et des enquêtes statistiques publiques.
Pourquoi un échantillon suffit
Si l’on tire au hasard n personnes dans une très grande population où une proportion p partage une opinion, la fréquence observée f varie d’un échantillon à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage. Mais elle varie peu, et de façon prévisible : d’après le théorème central limite, f suit approximativement une loi normale centrée sur p, d’écart-type :
σ = √(p(1 − p) / n)
Résultat contre-intuitif : la précision dépend de la taille de l’échantillon, pas de la taille de la population (tant que celle-ci est beaucoup plus grande). Un échantillon de 1 000 personnes est aussi précis pour la France que pour une ville de 200 000 habitants, comme une cuillerée suffit à goûter une soupe bien mélangée, que la casserole soit petite ou grande.
La marge d’erreur et l’intervalle de confiance
Au niveau de confiance de 95 %, l'intervalle de confiance de la proportion p est :
[f − 1,96 × √(f(1 − f)/n) ; f + 1,96 × √(f(1 − f)/n)]
Une approximation simple, utilisée au lycée, est [f − 1/√n ; f + 1/√n].
| Taille de l’échantillon | Marge d’erreur maximale (95 %) |
|---|---|
| 100 | ± 9,8 points |
| 400 | ± 4,9 points |
| 1 000 | ± 3,1 points |
| 2 000 | ± 2,2 points |
| 10 000 | ± 1,0 point |
Pour diviser la marge d’erreur par 2, il faut quadrupler l’échantillon. C’est pourquoi la plupart des sondages nationaux interrogent entre 1 000 et 2 000 personnes : au-delà, le gain de précision coûte très cher.
Que signifie « 95 % de confiance » ?
Si l’on répétait le sondage un grand nombre de fois avec la même méthode, environ 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie proportion. Cela signifie aussi qu'un sondage sur vingt, en moyenne, donnera un intervalle qui ne contient pas la valeur réelle, sans que l’on sache lequel.
Les méthodes d’échantillonnage
| Méthode | Principe | Usage |
|---|---|---|
| Aléatoire simple | Chaque individu a la même probabilité d’être choisi | Base de la théorie, contrôles qualité |
| Stratifiée | La population est découpée en groupes (strates), on tire au hasard dans chacun | Enquêtes publiques |
| Par grappes | On tire au hasard des groupes entiers (communes, écoles) | Enquêtes de terrain |
| Par quotas | L’échantillon reproduit la structure de la population (âge, sexe, profession, région) | Sondages d’opinion en France |
La méthode des quotas, dominante dans les instituts de sondage français, n’est pas aléatoire : les formules de marge d’erreur ne s’y appliquent qu’approximativement. Les instituts indiquent d’ailleurs souvent les marges calculées « comme pour un échantillon aléatoire ».
Les biais : plus graves que la marge d’erreur
La marge d’erreur ne mesure que le hasard de l’échantillonnage. Les erreurs systématiques, ou biais, ne diminuent pas avec la taille de l’échantillon :
- biais de sélection : l’échantillon n’est pas représentatif (sondage par Internet, auditeurs volontaires) ;
- biais de non-réponse : ceux qui refusent de répondre pensent différemment des autres ;
- biais de formulation : l’ordre et le vocabulaire des questions orientent les réponses ;
- biais de désirabilité sociale : certaines opinions sont sous-déclarées.
L’exemple historique est l’élection présidentielle américaine de 1936 : le magazine Literary Digest, sur la base de plus de deux millions de réponses, annonça la défaite de Franklin Roosevelt, qui l’emporta largement. Son échantillon, tiré notamment d’annuaires téléphoniques et de listes de propriétaires de voitures, surreprésentait les plus aisés. George Gallup, avec un échantillon bien plus petit mais mieux construit, prédit correctement la victoire. Voir aussi le biais de confirmation dans l’interprétation des résultats.
Questions fréquentes
Comment un sondage de 1 000 personnes peut-il être représentatif ?
Parce que la précision dépend de la taille de l’échantillon et non de celle de la population. Avec 1 000 personnes bien choisies, l’erreur due au hasard est d’environ 3 points dans 95 % des cas.
Qu’est-ce que la marge d’erreur d’un sondage ?
L’écart maximal probable, dû au hasard du tirage, entre le résultat du sondage et la valeur réelle. Elle vaut environ 1/√n au niveau de confiance de 95 %.
Pourquoi les sondages se trompent-ils parfois ?
À cause des biais (non-réponse, mauvaise représentativité, changement d’avis de dernière minute) et parce qu’un sondage mesure une opinion à une date, pas un résultat futur.
Un plus grand échantillon est-il toujours meilleur ?
Il réduit la marge d’erreur, mais ne corrige pas un biais. Un grand échantillon mal construit est moins fiable qu’un petit échantillon bien tiré.