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La loi des grands nombres
La loi des grands nombres affirme que, quand on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence observée d’un résultat se rapproche de sa probabilité.
Mis à jour le 4 min de lecture
Lancez une pièce 10 fois : vous pouvez obtenir 7 « pile ». Lancez-la 10 000 fois : la proportion de « pile » sera très proche de 50 %. Cette stabilisation des fréquences, que chacun constate intuitivement, est un théorème : la loi des grands nombres. Elle fait le lien entre la théorie des probabilités et le monde observable, et elle explique pourquoi les casinos et les assureurs gagnent à coup presque sûr.
Ce que dit la loi
| Nombre de lancers d’une pièce | Écart typique de la fréquence de « pile » autour de 50 % |
|---|---|
| 10 | ± 16 points |
| 100 | ± 5 points |
| 1 000 | ± 1,6 point |
| 10 000 | ± 0,5 point |
| 1 000 000 | ± 0,05 point |
L’écart typique de la fréquence vaut √(p(1 − p)/n), ici 0,5 / √n : il diminue comme 1 sur la racine carrée du nombre d’essais. Pour gagner un chiffre de précision, il faut cent fois plus d’essais.
Fréquence et écart absolu : la nuance essentielle
La loi parle de la fréquence (une proportion), pas du nombre absolu de résultats. Quand on lance une pièce de plus en plus, la proportion de « pile » se rapproche de 50 %, mais l’écart entre le nombre de « pile » et le nombre de « face » a tendance à grandir en valeur absolue (comme √n).
Le sophisme du joueur
La loi des grands nombres est souvent mal comprise : après une série de cinq « rouge » à la roulette, beaucoup pensent que « noir » devient plus probable, pour « rééquilibrer ». C’est faux : chaque tirage est indépendant et la roue n’a pas de mémoire. La probabilité reste la même.
Le rééquilibrage ne se fait pas par compensation, mais par dilution : les cinq « rouge » initiaux pèsent de moins en moins dans une série de plus en plus longue. Ce biais, appelé sophisme du joueur (ou erreur de Monte-Carlo), est un classique des biais cognitifs. Au casino de Monte-Carlo, le 18 août 1913, le noir serait sorti 26 fois de suite, et des joueurs auraient perdu des fortunes en misant sur le rouge.
La « loi des petits nombres »
L’erreur inverse consiste à croire que de petits échantillons reflètent déjà fidèlement la probabilité. Daniel Kahneman et Amos Tversky ont appelé « loi des petits nombres » cette tendance (1971). Les petits hôpitaux, les petites écoles ou les petites communes connaissent par exemple des taux extrêmes (très hauts ou très bas) bien plus souvent que les grands, simplement parce que leurs effectifs fluctuent davantage.
Les applications
- Assurance : un assureur ne sait pas qui aura un accident, mais sur des centaines de milliers de contrats, le nombre total de sinistres est très prévisible. La loi des grands nombres permet de fixer les primes.
- Casinos et loteries : l'espérance de gain est légèrement défavorable au joueur ; sur des millions de mises, le bénéfice de l’organisateur est presque certain.
- Sondages : la fréquence observée dans un grand échantillon est proche de la proportion réelle (voir échantillonnage et sondages).
- Méthode de Monte-Carlo : on estime une grandeur en simulant un très grand nombre de tirages aléatoires (calcul d’aires, de π, de risques financiers, physique nucléaire).
- Physique statistique : la pression d’un gaz est stable parce qu’elle résulte de milliards de milliards de chocs moléculaires.
Loi faible, loi forte et théorème central limite
Jacques Bernoulli démontre la première version, pour les épreuves à deux issues ; elle paraît en 1713 dans son Ars Conjectandi, après sa mort. On distingue aujourd’hui :
- la loi faible : pour toute marge fixée, la probabilité que la moyenne s’écarte de l’espérance de plus que cette marge tend vers 0 ;
- la loi forte (Émile Borel en 1909, puis Andreï Kolmogorov) : la moyenne converge vers l’espérance avec probabilité 1.
Le théorème central limite précise la forme des fluctuations autour de cette limite : elles suivent approximativement une loi normale.
Questions fréquentes
Que dit la loi des grands nombres simplement ?
Que plus on répète une expérience aléatoire, plus la proportion des résultats se rapproche de la probabilité théorique.
Après 10 « pile », « face » a-t-il plus de chances de sortir ?
Non. Chaque lancer est indépendant : la probabilité reste 1/2. La loi des grands nombres ne repose pas sur une compensation.
Combien de lancers faut-il pour que la loi s’applique ?
Il n’y a pas de seuil : la fréquence se rapproche progressivement. Avec 1 000 lancers d’une pièce, elle est en général à moins de 3 points de 50 % ; avec 100 000, à moins de 0,3 point.
Pourquoi les casinos gagnent-ils toujours ?
Parce que chaque jeu a une espérance légèrement négative pour le joueur et que les casinos organisent un nombre énorme de parties : la loi des grands nombres transforme ce petit avantage en gain quasi certain.