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Le théorème de Bézout
Le théorème de Bézout affirme que deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1. Plus généralement, on peut toujours écrire PGCD(a, b) = au + bv.
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Ce résultat central de l’arithmétique porte le nom d’Étienne Bézout (1730-1783), mathématicien français qui l’a généralisé aux polynômes ; pour les entiers, il figurait déjà chez Claude-Gaspard Bachet de Méziriac au début du XVIIe siècle. Il relie le PGCD, l’algorithme d’Euclide et la résolution d’équations à solutions entières, et il fonde les calculs d’inverse en arithmétique modulaire.
Comprendre l’énoncé
Les coefficients u et v ne sont pas uniques : 5 × (−1) + 3 × 2 = 1 convient aussi. L’un des deux est en général négatif.
Le sens « s’il existe u, v avec au + bv = 1, alors PGCD = 1 » est immédiat : tout diviseur commun de a et b divise au + bv, donc divise 1. C’est l’autre sens, l’existence de u et v, qui demande un vrai travail.
Trouver u et v : l’algorithme d’Euclide étendu
On effectue l’algorithme d’Euclide (divisions euclidiennes successives), puis on « remonte » les calculs (voir la division euclidienne).
Pour de petits nombres, on peut aussi chercher u et v par essais : pour 7u + 3v = 1, on teste u = 1 (7 − 1 = 6 = 3 × 2), d’où 7 × 1 + 3 × (−2) = 1.
Les conséquences
Le lemme de Gauss
Si a divise bc et que a est premier avec b, alors a divise c. Exemple : 3 divise 4c et 3 est premier avec 4, donc 3 divise c.
Preuve : au + bv = 1, donc acu + bcv = c ; a divise les deux termes, donc a divise c.
Cas particulier essentiel, le lemme d’Euclide : si un nombre premier p divise un produit bc, il divise b ou c. C’est la clé de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Les inverses modulaires
Si au + nv = 1, alors au ≡ 1 (mod n) : u est l'inverse de a modulo n. Exemple : 3 × 5 + 7 × (−2) = 1, donc l’inverse de 3 modulo 7 est 5. C’est ainsi que l’on calcule la clé privée du chiffrement RSA (voir le petit théorème de Fermat).
Les équations diophantiennes ax + by = c
Une équation ax + by = c, à résoudre en entiers, a des solutions si et seulement si PGCD(a, b) divise c.
Erreurs fréquentes
- Croire que u et v sont positifs : l’un est généralement négatif.
- Conclure PGCD = d dès que au + bv = d :
5 × 1 + 3 × 1 = 8ne signifie pas que PGCD(5, 3) = 8. Seule l’égalité à 1 caractérise les nombres premiers entre eux ; sinon, on sait seulement que le PGCD divise d. - Oublier de vérifier que PGCD(a, b) divise c avant de résoudre
ax + by = c.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre identité de Bézout et théorème de Bézout ?
L’identité affirme qu’on peut écrire le PGCD sous la forme au + bv. Le théorème en est le cas particulier : a et b sont premiers entre eux si et seulement si l’on peut obtenir 1.
Comment trouver les coefficients de Bézout ?
Avec l’algorithme d’Euclide étendu : on fait les divisions successives, puis on exprime chaque reste en fonction des précédents en remontant jusqu’au PGCD.
Les coefficients de Bézout sont-ils uniques ?
Non. Si (u, v) convient, alors (u + kb', v − ka'), avec a' = a/d et b' = b/d, convient aussi pour tout entier k.
À quoi sert le théorème de Bézout ?
À résoudre des équations en nombres entiers, à démontrer le lemme de Gauss, à calculer des inverses modulaires et donc à faire fonctionner le chiffrement RSA.