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Développer et factoriser
Développer, c’est transformer un produit en somme : 3(x + 2) = 3x + 6. Factoriser, c’est l’inverse : transformer une somme en produit, en repérant un facteur commun ou une identité remarquable.
Mis à jour le 4 min de lecture
Développer et factoriser sont les deux gestes fondamentaux du calcul littéral. Ils ne changent pas la valeur d’une expression, seulement sa forme. Le choix dépend du but : on développe pour simplifier et réduire une expression, on factorise pour résoudre une équation, étudier un signe ou simplifier une fraction.
Développer
La distributivité simple
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Attention aux signes : le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse (voir les nombres relatifs).
La double distributivité
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
Supprimer des parenthèses précédées d’un signe
+(a − b) = a − b: on garde les signes.−(a − b) = −a + b: on change tous les signes.
Avec les identités remarquables
Pour (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b), on applique directement les identités remarquables : (x − 3)² = x² − 6x + 9.
Factoriser
Trois méthodes, à essayer dans cet ordre.
1. Le facteur commun
On cherche un facteur présent dans tous les termes et on le « met en évidence » : ka + kb = k(a + b).
Piège : dans (x + 4)(x − 1) − (x + 4), le second terme vaut (x + 4) × 1. On obtient (x + 4)(x − 1 − 1) = (x + 4)(x − 2).
2. Les identités remarquables
Sans facteur commun visible, on cherche une forme a² − b² ou a² ± 2ab + b².
x² − 36 = (x − 6)(x + 6)x² + 8x + 16 = (x + 4)²(2x + 1)² − 9 = (2x + 1 − 3)(2x + 1 + 3) = (2x − 2)(2x + 4), que l’on peut encore factoriser en4(x − 1)(x + 2).
3. Le trinôme du second degré
Pour ax² + bx + c qui n’est ni un carré parfait ni une différence de carrés, on calcule le discriminant Δ : si Δ ≥ 0, ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) (voir l'équation du second degré).
Pourquoi factoriser ? Le produit nul
Une équation de degré 2 ou plus se résout en la factorisant, puis en appliquant la règle : un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
La forme factorisée sert aussi à dresser un tableau de signes et à simplifier une fraction rationnelle : (x² − 9) / (x − 3) = x + 3 pour x ≠ 3.
Vérifier son résultat
- Redévelopper la forme factorisée : on doit retrouver l’expression de départ.
- Tester une valeur : remplacer x par 1 ou 2 dans les deux formes. Si les résultats diffèrent, il y a une erreur (s’ils sont égaux, c’est seulement probable).
Erreurs fréquentes
- Oublier un terme dans la double distributivité : il y a toujours 4 produits pour deux binômes.
- Mal distribuer un signe moins :
−(x − 3) = −x + 3. - Oublier le 1 en factorisant :
3x + 3 = 3(x + 1), pas3x. - Factoriser à moitié :
2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2). - « Simplifier » une somme :
(x + 3)/3n’est pas égal àx + 1.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Ce sont deux transformations inverses. Développer produit une somme (2x + 6), factoriser produit un produit (2(x + 3)).
Comment savoir s’il faut développer ou factoriser ?
Pour résoudre une équation = 0 ou étudier un signe, on factorise. Pour réduire, comparer ou dériver une expression, on développe en général.
Comment trouver un facteur commun ?
On regarde le PGCD des coefficients, puis la plus petite puissance de x commune, puis d’éventuelles parenthèses identiques dans chaque terme.
Une expression peut-elle ne pas se factoriser ?
Oui. x² + 1 ne se factorise pas avec des nombres réels, car son discriminant est négatif.