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Les inéquations
Une inéquation se résout comme une équation, avec une règle en plus : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité. Les solutions forment en général un intervalle.
Mis à jour le 4 min de lecture
« Combien d’heures faut-il travailler pour gagner au moins 500 € ? », « à partir de quelle quantité l’abonnement est-il plus avantageux ? » : ces questions conduisent à des inéquations. Contrairement à une équation, qui a souvent quelques solutions isolées, une inéquation en a généralement une infinité, décrites par des intervalles.
Les règles de calcul
On obtient une inéquation équivalente (mêmes solutions) en :
| Opération sur les deux membres | Sens de l’inégalité |
|---|---|
| Ajouter ou soustraire un même nombre | Conservé |
| Multiplier ou diviser par un nombre positif | Conservé |
| Multiplier ou diviser par un nombre négatif | Changé |
Inéquations du premier degré
Écrire les solutions avec des intervalles
| Inégalité | Intervalle | Crochet en a |
|---|---|---|
x < a | ]−∞ ; a[ | Ouvert (a exclu) |
x ≤ a | ]−∞ ; a] | Fermé (a inclus) |
x > a | ]a ; +∞[ | Ouvert |
x ≥ a | [a ; +∞[ | Fermé |
a < x ≤ b | ]a ; b] | Ouvert en a, fermé en b |
Le crochet est toujours ouvert du côté de l’infini. Sur une droite graduée, on hachure ou on colorie la partie solution.
Inéquations produit et quotient
Pour une inéquation de degré 2 ou plus, on se ramène à … > 0 (ou < 0), on factorise, puis on étudie le signe de chaque facteur dans un tableau de signes.
Pour un trinôme ax² + bx + c, on utilise directement la règle du signe (signe de a à l’extérieur des racines) : voir l'équation du second degré.
Mettre un problème en inéquation
Comme x est ici un nombre entier de séances, on conclut sur les entiers. On retrouve cette comparaison graphiquement : c’est l’intersection de deux droites représentant des fonctions affines.
Inéquations avec valeur absolue
|x − a| < r signifie que la distance entre x et a est inférieure à r : a − r < x < a + r. Exemple : |x − 3| ≤ 2 équivaut à 1 ≤ x ≤ 5. Voir la valeur absolue.
Erreurs fréquentes
- Oublier de changer le sens en divisant par un négatif.
- Mettre un crochet fermé sur l’infini :
]−∞ ; 5[, jamais[−∞. - Inclure une valeur interdite dans un quotient.
- Multiplier par x sans connaître son signe.
- Élever au carré les deux membres sans précaution :
−3 < 2mais9 > 4.
Questions fréquentes
Quand faut-il changer le sens d’une inégalité ?
Uniquement quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens.
Quelle est la différence entre < et ≤ ?
< exclut l’égalité (crochet ouvert), ≤ l’inclut (crochet fermé). Pour x ≤ 5, la valeur 5 est solution.
Comment vérifier les solutions d’une inéquation ?
On teste une valeur de l’intervalle trouvé (elle doit vérifier l’inéquation) et une valeur hors de l’intervalle (elle ne doit pas la vérifier), ainsi que la borne.
Une inéquation peut-elle n’avoir aucune solution ?
Oui. x² < −1 n’a aucune solution réelle, car un carré est toujours positif. À l’inverse, x² + 1 > 0 est vraie pour tout réel.