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Le tableau à double entrée
Un tableau à double entrée croise deux caractères d’une population : chaque case donne l’effectif des individus ayant les deux modalités. Les totaux servent aux fréquences.
Mis à jour le 3 min de lecture
Le tableau à double entrée, utilisé dès l’école primaire pour organiser des données, devient en seconde et en première un outil central des probabilités : il permet de calculer des probabilités d’intersections et des probabilités conditionnelles sans formule, simplement en lisant les bonnes cases.
Exemple de tableau
Les 400 élèves d’un lycée, selon leur niveau et leur régime :
| Demi-pensionnaire | Externe | Total | |
|---|---|---|---|
| Seconde | 120 | 30 | 150 |
| Première | 90 | 40 | 130 |
| Terminale | 70 | 50 | 120 |
| Total | 280 | 120 | 400 |
Lecture : 90 élèves sont à la fois en première et demi-pensionnaires ; 280 élèves sont demi-pensionnaires au total.
Compléter un tableau : méthode
- Repérer les lignes ou colonnes où il ne manque qu’une case.
- Utiliser les totaux : chaque ligne et chaque colonne se somme jusqu’à son total.
- Traduire les pourcentages de l’énoncé en effectifs (« 25 % des 400 » donne 100).
- Vérifier que le total des totaux de lignes égale celui des totaux de colonnes.
Calculer des fréquences
Trois types de fréquences, selon la population de référence :
| Fréquence | Divisé par | Exemple |
|---|---|---|
| Par rapport au total | effectif total | Premières demi-pensionnaires : 90/400 = 22,5 % |
| Marginale | effectif total | Externes : 120/400 = 30 % |
| Conditionnelle | total de la ligne ou de la colonne | Parmi les secondes, demi-pensionnaires : 120/150 = 80 % |
La question à se poser est toujours : « parmi qui ? ». « Parmi les demi-pensionnaires, quelle part est en terminale ? » se calcule 70/280 = 25 %, alors que « parmi les terminales, quelle part est demi-pensionnaire ? » donne 70/120 ≈ 58 %.
Passer aux probabilités
On choisit un élève au hasard (équiprobabilité). Notons D « demi-pensionnaire » et T « en terminale ».
P(D) = 280/400 = 0,7.P(D ∩ T) = 70/400 = 0,175.P(D ∪ T) = P(D) + P(T) − P(D ∩ T) = 0,7 + 0,3 − 0,175 = 0,825.P_T(D) = 70/120 ≈ 0,583: probabilité d’être demi-pensionnaire sachant que l’élève est en terminale.
On retrouve la formule P_T(D) = P(D ∩ T) / P(T) = 0,175 / 0,3 ≈ 0,583.
Tableau et arbre de probabilités
Un tableau à double entrée et un arbre pondéré contiennent la même information. Les branches de premier niveau correspondent aux totaux d’une variable, celles du second niveau aux fréquences conditionnelles. Le tableau est souvent plus rapide pour les questions « inversées » du type « sachant que… » (voir théorème de Bayes).
Le cas du dépistage
Une population de 10 000 personnes, maladie touchant 1 %, test positif chez 99 % des malades et 2 % des non-malades :
| Test positif | Test négatif | Total | |
|---|---|---|---|
| Malade | 99 | 1 | 100 |
| Non malade | 198 | 9 702 | 9 900 |
| Total | 297 | 9 703 | 10 000 |
Parmi les positifs, seuls 99/297 ≈ 33 % sont malades. Le tableau rend ce résultat contre-intuitif évident.
Erreurs fréquentes
- Mauvaise population de référence : diviser par le total général au lieu du total de la ligne.
- Confondre P_A(B) et P_B(A).
- Oublier de vérifier les totaux.
- Additionner des pourcentages de groupes de tailles différentes.
Exercice corrigé
Dans un club de 250 membres, 150 font du tennis, 80 de la natation, et 40 font les deux. Les autres pratiquent d’autres sports.
| Natation | Pas natation | Total | |
|---|---|---|---|
| Tennis | 40 | 110 | 150 |
| Pas tennis | 40 | 60 | 100 |
| Total | 80 | 170 | 250 |
- Membres ne faisant ni tennis ni natation : 60.
- Probabilité qu’un membre fasse de la natation :
80/250 =0,32. - Probabilité qu’un joueur de tennis nage :
40/150 ≈0,267. - Probabilité de faire au moins l’un des deux :
(250 − 60)/250 =0,76.
Questions fréquentes
Comment lire un tableau à double entrée ?
On croise une ligne et une colonne : la case obtenue donne le nombre d’individus ayant les deux caractéristiques. Les totaux sont en marge.
Comment calculer une probabilité conditionnelle avec un tableau ?
On se place dans la ligne ou la colonne de la condition, et on divise l’effectif de la case par le total de cette ligne ou colonne.
Quelle différence entre fréquence et fréquence conditionnelle ?
La fréquence se calcule sur toute la population ; la fréquence conditionnelle sur une sous-population (une ligne ou une colonne).
Pourquoi utiliser 10 000 personnes dans les exercices de dépistage ?
Parce qu’un effectif fictif assez grand transforme les pourcentages en nombres entiers, plus faciles à interpréter que des probabilités décimales.