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Les identités remarquables
Les trois identités remarquables sont (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b². Elles servent à développer et surtout à factoriser rapidement.
Mis à jour le 4 min de lecture
Les identités remarquables sont des égalités vraies pour toutes les valeurs de a et b. On les apprend en classe de troisième en France, et on les utilise ensuite partout : factorisation, équations du second degré, forme canonique, simplification de fractions et de racines, calcul mental.
D’où viennent-elles ?
Il suffit de développer avec la double distributivité (voir développer et factoriser) :
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².
(a + b)(a − b) = a² − ab + ba − b² = a² − b² : les termes croisés s’annulent.
Développer avec les identités
On repère a et b, puis on applique la formule. Le terme 2ab est le « double produit ».
| Expression | a | b | Développement |
|---|---|---|---|
(x + 3)² | x | 3 | x² + 6x + 9 |
(2x − 5)² | 2x | 5 | 4x² − 20x + 25 |
(3x + 1)(3x − 1) | 3x | 1 | 9x² − 1 |
(x/2 + 4)² | x/2 | 4 | x²/4 + 4x + 16 |
Factoriser avec les identités
C’est l’usage le plus précieux, car on ne voit pas toujours le facteur commun. On lit la formule de droite à gauche.
Reconnaître une différence de deux carrés
a² − b² = (a + b)(a − b).
Reconnaître un carré parfait
Une expression à trois termes a² ± 2ab + b² se factorise en (a ± b)². On vérifie le double produit.
x² + 6x + 4 n’est pas un carré parfait : il faudrait 9 et non 4.
Pour résoudre une équation
Les identités en calcul mental
102² = (100 + 2)² = 10 000 + 400 + 4 = 10 40499² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 80159 × 61 = (60 − 1)(60 + 1) = 3 600 − 1 = 3 599
Identités utiles au-delà de la troisième
| Identité | Formule |
|---|---|
| Cube d’une somme | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Cube d’une différence | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| Différence de cubes | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
| Somme de cubes | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| Carré d’un trinôme | (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc |
Les coefficients des puissances supérieures (a + b)ⁿ se lisent dans le triangle de Pascal (binôme de Newton). La forme a² + b² ne se factorise pas avec des réels ; elle se factorise avec les nombres complexes : (a + ib)(a − ib).
Supprimer une racine au dénominateur
On multiplie par la « quantité conjuguée » pour faire apparaître a² − b² :
1 / (√3 − 1) = (√3 + 1) / ((√3)² − 1²) = (√3 + 1) / 2. Voir la racine carrée.
Erreurs fréquentes
- Oublier le double produit :
(a + b)² ≠ a² + b². Contre-exemple :(1 + 2)² = 9alors que1² + 2² = 5. - Se tromper de signe : dans
(a − b)², le dernier termeb²est positif. - Confondre
(a − b)²eta² − b². - Mal identifier a : dans
(3x − 2)², a = 3x, donca² = 9x².
Questions fréquentes
Comment retenir les identités remarquables ?
« Le carré du premier, plus (ou moins) deux fois le produit du premier par le second, plus le carré du second » ; et « somme fois différence égale différence des carrés ».
Comment savoir quelle identité utiliser pour factoriser ?
Deux termes séparés par un moins, tous deux des carrés : a² − b². Trois termes dont deux carrés positifs : (a + b)² ou (a − b)² selon le signe du double produit.
Pourquoi les appelle-t-on « remarquables » ?
Parce que ces produits reviennent si souvent qu’on a intérêt à reconnaître leur forme d’un coup d’œil plutôt que de redévelopper.
a² + b² se factorise-t-il ?
Pas dans les nombres réels. Dans les complexes, a² + b² = (a + ib)(a − ib).