Le paradoxe de Simpson

Un traitement peut être meilleur chez les hommes, meilleur chez les femmes, et pourtant moins bon sur l’ensemble des patients. Ce n’est pas une erreur de calcul : c’est le paradoxe de Simpson, l’un des pièges les plus déroutants des statistiques. Il montre qu’un pourcentage global peut raconter l’inverse de la réalité, et qu’on ne peut pas interpréter des données sans savoir comment elles ont été produites.

Un exemple simple

Deux hôpitaux, A et B, opèrent des patients en bon état et des patients en état grave.

L’hôpital A a un meilleur taux de survie dans les deux catégories, et pourtant un taux global bien plus faible. La raison : il soigne surtout des cas graves (900 sur 1 000), qui ont un faible taux de survie partout, alors que l’hôpital B soigne surtout des cas légers. Le taux global compare en réalité deux populations de patients différentes.

Des cas réels célèbres

Les calculs rénaux (1986)

Une étude a comparé deux traitements des calculs rénaux : la chirurgie ouverte (A) et une technique moins invasive (B).

A est meilleur pour les petits et pour les gros calculs, mais B semble meilleur globalement. Explication : les médecins réservaient le traitement A, plus lourd, aux cas difficiles (gros calculs), plus souvent en échec.

Les admissions à Berkeley (1973)

L’université de Berkeley a été soupçonnée de discriminer les femmes : globalement, environ 44 % des hommes candidats étaient admis contre 35 % des femmes. Mais une analyse département par département a montré que, dans la plupart des départements, les femmes étaient admises à un taux égal ou supérieur. Les femmes postulaient davantage aux départements les plus sélectifs, où tous les candidats avaient un faible taux d’admission. L’étude a été publiée en 1975 dans la revue Science.

Faut-il regarder les groupes ou le total ?

Ni l’un ni l’autre automatiquement. Tout dépend de la structure causale du problème :

• si la variable de regroupement (gravité, taille du calcul) influence à la fois le choix du traitement et le résultat, c’est un facteur de confusion : il faut raisonner par groupe ;
• si cette variable est au contraire une conséquence du traitement (par exemple la tension artérielle modifiée par un médicament), regrouper selon elle fausserait l’analyse : il faut regarder le total.

Les mêmes chiffres peuvent donc appeler deux conclusions différentes selon l’histoire qui les a produits. C’est l’un des arguments majeurs en faveur des essais randomisés : en répartissant les patients au hasard, on obtient des groupes de même composition, et le paradoxe ne peut plus se produire. Voir corrélation et causalité.

D’autres exemples

• Moyennes au baseball : un joueur peut avoir une meilleure moyenne qu’un autre chaque saison et une moins bonne sur l’ensemble des saisons, si le nombre de passages à la batte diffère fortement d’une année à l’autre.
• Salaires : le salaire médian peut baisser globalement alors qu’il augmente dans chaque catégorie, si la part des catégories moins payées augmente.
• Mortalité : un pays à population âgée peut avoir un taux de mortalité brut plus élevé qu’un autre tout en ayant une mortalité plus faible à chaque âge. Les démographes utilisent pour cela des taux standardisés par âge.

Questions fréquentes

Pourquoi le paradoxe de Simpson n’est-il pas une erreur de calcul ?

Parce que tous les pourcentages sont exacts. Le paradoxe vient de ce que les groupes comparés n’ont pas la même composition : le total mélange des sous-groupes dans des proportions différentes.

Comment éviter le paradoxe de Simpson ?

En identifiant les facteurs de confusion et en comparant des groupes homogènes, ou en répartissant les sujets au hasard (essai randomisé), ce qui équilibre la composition des groupes.

Le paradoxe de Simpson est-il fréquent ?

L’inversion complète est relativement rare, mais des distorsions moins spectaculaires dues à la composition des groupes sont très fréquentes, en médecine, en économie, en démographie et en sciences sociales.