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La résolution graphique
Résoudre graphiquement f(x) = k, c’est lire les abscisses des points où la courbe de f coupe la droite y = k. Pour f(x) > k, on lit où la courbe est au-dessus de la droite.
Mis à jour le 4 min de lecture
La résolution graphique est une compétence centrale de seconde, préparée en 3e. Elle permet de résoudre des équations et des inéquations impossibles ou difficiles à traiter par le calcul, à condition d’accepter des solutions approchées. Elle prolonge la lecture des images et antécédents.
Les quatre situations
| Problème | Ce qu’on trace | Ce qu’on lit |
|---|---|---|
f(x) = k | droite horizontale y = k | abscisses des points d’intersection |
f(x) > k | droite y = k | abscisses des points de la courbe strictement au-dessus |
f(x) = g(x) | les deux courbes | abscisses des points d’intersection |
f(x) ≤ g(x) | les deux courbes | abscisses où la courbe de f est en dessous ou sur celle de g |
Méthode pas à pas : équation f(x) = k
- Repérer k sur l’axe des ordonnées.
- Tracer la droite horizontale
y = k. - Marquer tous les points d’intersection avec la courbe.
- Lire leurs abscisses (en descendant verticalement vers l’axe horizontal).
- Écrire l’ensemble des solutions, en précisant qu’il s’agit de valeurs lues (souvent approchées).
Méthode pas à pas : inéquation f(x) < k
- Tracer la droite
y = k. - Repérer les portions de courbe strictement en dessous de la droite.
- Lire les intervalles d’abscisses correspondants.
- Gérer les bornes : crochets fermés pour
≤(points d’intersection inclus), ouverts pour<. Les bornes de l’ensemble de définition sont incluses ou non selon l’énoncé.
Exemple chiffré
f est définie sur [−2 ; 4] par la courbe passant par A(−2 ; 6), B(−1 ; 1), C(1 ; −3) (minimum), D(3 ; 1) et E(4 ; 6). C’est par exemple la parabole de f(x) = x² − 2x − 2.
f(x) = 1: la droite y = 1 coupe la courbe en x = −1 et x = 3. S = {−1 ; 3}.f(x) < 1: la courbe est sous la droite entre ces deux points. S = ]−1 ; 3[.f(x) ≥ 1: S = [−2 ; −1] ∪ [3 ; 4].f(x) = −4: la droite y = −4 passe sous le minimum −3 : aucune solution.
Comparer deux fonctions : f(x) = g(x) et f(x) > g(x)
Avec la courbe de f et la droite de g(x) = x − 1 sur le même graphique, on cherche les points communs. Ici, x² − 2x − 2 = x − 1 donne x² − 3x − 1 = 0, dont les solutions sont environ −0,30 et 3,30. Graphiquement, on lirait environ −0,3 et 3,3. Pour f(x) > g(x), on prend les abscisses où la parabole est au-dessus de la droite : [−2 ; −0,3[ ∪ ]3,3 ; 4] environ.
C’est aussi la méthode pour étudier la position relative de deux courbes, qui se confirme par le calcul en étudiant le signe de f(x) − g(x) (voir tableau de signes).
Limites de la méthode
- La lecture est approchée : la précision dépend du quadrillage. Une solution lue « 1,4 » peut valoir √2.
- On ne voit que la partie tracée de la courbe : il peut exister d’autres solutions hors de la fenêtre.
- Pour une réponse exacte, on confirme par le calcul (équation, discriminant) ou on utilise un algorithme de dichotomie.
Erreurs fréquentes
- Donner les ordonnées au lieu des abscisses.
- Oublier un point d’intersection.
- Se tromper de crochets aux bornes (strict ou large).
- Lire au-dessus quand on demande en dessous.
- Présenter une valeur lue comme exacte sans le préciser.
Exercice corrigé
Une fonction h est définie sur [0 ; 6] ; sa courbe monte de (0 ; 2) à (2 ; 6), puis descend jusqu’à (6 ; −2), en passant par (4 ; 2) et (5 ; 0).
h(x) = 2: S = {0 ; 4}.h(x) > 2: S = ]0 ; 4[.h(x) = 0: S = {5}.h(x) ≤ 0: S = [5 ; 6].h(x) = 7: aucune solution, le maximum étant 6.
Questions fréquentes
Comment résoudre graphiquement une équation ?
On trace la droite horizontale y = k (ou la seconde courbe) et on lit les abscisses des points d’intersection avec la courbe.
Comment résoudre graphiquement une inéquation ?
On repère les parties de la courbe situées au-dessus (pour >) ou au-dessous (pour <) de la droite y = k, et on écrit les intervalles d’abscisses correspondants.
Les solutions graphiques sont-elles exactes ?
Pas toujours : elles sont lues sur un dessin. On écrit « environ » ou « par lecture graphique », et on confirme par le calcul si l’exercice le demande.
Que faire si la droite ne coupe pas la courbe ?
L’équation n’a pas de solution sur l’intervalle représenté. Pour une inéquation, l’ensemble des solutions est alors vide ou égal à tout l’intervalle, selon que la courbe est entièrement du mauvais ou du bon côté.