Le nombre e

Après π, e est la constante la plus importante des mathématiques. On la retrouve partout où une quantité varie proportionnellement à elle-même : intérêts composés, croissance d’une population, désintégration radioactive, refroidissement d’un objet. Sa notation est due à Leonhard Euler, qui l’utilise dès les années 1720-1730 ; on l’appelle parfois « nombre d’Euler » ou « constante de Néper ».

Trois façons de définir e

Comme une limite

e = lim (1 + 1/n)ⁿ quand n tend vers l’infini.

La convergence est lente : un million d’étapes ne donnent que cinq décimales exactes (voir les limites de suites).

Comme une somme infinie

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … = 1 + 1 + 0,5 + 0,166… + 0,041… + …

Cette série converge très vite grâce à la croissance de la factorielle : dix termes suffisent pour six décimales exactes.

Par l’aire sous une courbe

e est le nombre tel que l’aire sous la courbe de y = 1/x, entre x = 1 et x = e, vaut exactement 1 (voir les intégrales). C’est la définition géométrique du logarithme népérien.

L’origine : les intérêts composés

En 1683, Jacques Bernoulli étudie le problème suivant. On place 1 € à 100 % d’intérêt annuel.

Le capital ne grandit pas indéfiniment : il tend vers e. Plus généralement, un taux annuel t composé en continu multiplie le capital par eᵗ en un an (voir les intérêts composés).

Propriétés mathématiques

• e est irrationnel (Euler, 1737) : son écriture décimale est infinie et non périodique (voir les nombres irrationnels).
• e est transcendant (Charles Hermite, 1873) : il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers. π l’a été à son tour en 1882, par Lindemann, avec une méthode inspirée de celle d’Hermite.
• La fonction x ↦ eˣ est la seule (à un facteur près) égale à sa dérivée (voir la fonction exponentielle).
• Identité d’Euler : e^(iπ) + 1 = 0, qui relie e, π, i, 1 et 0 (voir les nombres complexes).

Où trouve-t-on e ?

• Croissance et décroissance exponentielles : une population qui croît de 2 % par an en continu vaut P₀ × e^(0,02t) ; la radioactivité suit N₀ × e^(−λt) (voir la radioactivité).
• Probabilités : la loi normale contient e^(−x²/2) ; la probabilité qu’une permutation au hasard ne laisse aucun élément à sa place tend vers 1/e ≈ 36,8 %.
• Équations différentielles : les solutions de y′ = ay sont Ceᵃˣ (voir les équations différentielles).
• La chaînette : un câble suspendu à deux points prend la forme d’un cosinus hyperbolique, combinaison de eˣ et e⁻ˣ.

Erreurs fréquentes

• Confondre e et la notation E des calculatrices : 3E5 signifie 3 × 10⁵, pas 3 × e⁵.
• Croire que (1 + 1/n)ⁿ tend vers 1 parce que 1 + 1/n tend vers 1 : la limite est e, car l’exposant tend vers l’infini.
• Écrire e = 2,718 comme valeur exacte : ce n’est qu’une approximation.

Questions fréquentes

Quelle est la valeur exacte de e ?

e n’a pas d’écriture décimale finie : e = 2,718 281 828 459 045… On le note simplement e, ou exp(1).

Pourquoi e est-il si important ?

Parce que l’exponentielle de base e est la seule fonction exponentielle égale à sa dérivée. Les calculs de croissance, de dérivées et d’intégrales sont alors les plus simples.

Quelle différence entre e et le nombre d’or ?

Ce sont deux constantes sans rapport : e ≈ 2,718 est transcendant, le nombre d’or φ ≈ 1,618 est solution de x² = x + 1.

Comment obtenir e sur une calculatrice ?

On utilise la touche eˣ avec x = 1, souvent accessible par seconde fonction de la touche ln.