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L’espérance mathématique
L’espérance d’une variable aléatoire est la moyenne de ses valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ. C’est la valeur moyenne obtenue en répétant l’expérience un très grand nombre de fois.
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Un jeu de hasard est-il avantageux ? Combien une compagnie d’assurance doit-elle facturer pour ne pas perdre d’argent ? Combien de temps faut-il attendre en moyenne un bus ? Ces questions demandent toutes de calculer une moyenne « théorique » des résultats d’une expérience aléatoire : l’espérance. La notion apparaît dès les premiers travaux sur les probabilités, chez Christiaan Huygens (1657), et elle est au cœur de la théorie de la décision.
Calculer une espérance
- Lister les valeurs possibles de X.
- Calculer la probabilité de chacune (la somme doit faire 1).
- Multiplier chaque valeur par sa probabilité.
- Additionner.
Jeu équitable, favorable, défavorable
| Espérance du gain net | Le jeu est… |
|---|---|
| E(X) > 0 | Favorable au joueur |
| E(X) = 0 | Équitable |
| E(X) < 0 | Défavorable au joueur |
Les jeux de casino et les loteries ont une espérance de gain négative pour le joueur : c’est ce qui assure le revenu de l’organisateur. À la roulette européenne (37 cases, dont le zéro), une mise de 1 € sur un numéro rapporte 35 € de gain net avec une probabilité 1/37 : E = 35 × 1/37 − 1 × 36/37 = −1/37 ≈ −0,027 €. Le joueur perd en moyenne 2,7 % de chaque mise.
L’espérance et la loi des grands nombres
L’espérance est une moyenne théorique. La loi des grands nombres garantit que la moyenne des résultats observés se rapproche de l’espérance quand le nombre de répétitions augmente. Elle ne dit rien d’une partie isolée : un joueur peut gagner à un jeu d’espérance négative, mais un casino qui organise des millions de parties est presque assuré de gagner.
Propriétés
La linéarité de l’espérance simplifie de nombreux calculs :
E(aX + b) = a × E(X) + b;E(X + Y) = E(X) + E(Y), même si X et Y ne sont pas indépendantes.
Variance et écart-type
L’espérance seule ne suffit pas : deux jeux de même espérance peuvent être très différents en risque. La variance mesure la dispersion autour de l’espérance :
V(X) = E((X − E(X))²) = E(X²) − (E(X))²
L'écart-type est σ(X) = √V(X). Voir moyenne, médiane et écart-type pour la version statistique.
Applications
- Assurance : la prime pure est l’espérance des remboursements ; l’assureur y ajoute ses frais et sa marge.
- Économie et finance : rendement espéré d’un investissement, comparé à son risque (écart-type).
- Décision : choisir l’option d’espérance maximale, en tenant compte de l’aversion au risque. Le pari de Pascal est un argument d’espérance célèbre.
- Jeux : stratégies au poker, au blackjack, ou au problème de Monty Hall.
Les limites : le paradoxe de Saint-Pétersbourg
On lance une pièce jusqu’à obtenir « pile » ; si cela arrive au n-ième lancer, on gagne 2ⁿ euros. L’espérance vaut 2 × 1/2 + 4 × 1/4 + 8 × 1/8 + … = 1 + 1 + 1 + …, c’est-à-dire l’infini. Pourtant, personne ne paierait une grosse somme pour jouer. Daniel Bernoulli en tire en 1738 la notion d'utilité : la satisfaction apportée par l’argent croît moins vite que la somme elle-même.
Questions fréquentes
Que représente concrètement l’espérance ?
La moyenne des résultats que l’on obtiendrait en répétant l’expérience un très grand nombre de fois.
L’espérance peut-elle être négative ?
Oui, si la variable prend des valeurs négatives, comme un gain net. Une espérance négative signifie qu’on perd en moyenne.
Quelle différence entre espérance et moyenne ?
La moyenne se calcule sur des données observées ; l’espérance est une moyenne théorique, calculée à partir des probabilités. La première tend vers la seconde quand le nombre d’observations augmente.
Comment savoir si un jeu est équitable ?
On calcule l’espérance du gain net (gain moins mise). Si elle vaut zéro, le jeu est équitable.