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La loi normale
La loi normale, ou loi de Gauss, décrit une grandeur qui se répartit symétriquement autour de sa moyenne selon une courbe en cloche. Environ 95 % des valeurs sont à moins de deux écarts-types de la moyenne.
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La taille des adultes, les erreurs de mesure, les notes d’un examen très large, le poids des baguettes sortant d’une boulangerie industrielle : de nombreuses grandeurs se répartissent selon une même forme de courbe en cloche. Ce n’est pas une coïncidence : dès qu’une grandeur résulte de l’addition de nombreux petits effets indépendants, elle suit approximativement une loi normale. C’est la loi la plus importante des probabilités et des statistiques.
La forme de la courbe
- Le sommet est atteint en x = μ, qui est à la fois la moyenne, la médiane et le mode.
- La courbe est symétrique par rapport à la droite x = μ.
- Plus σ est grand, plus la cloche est large et basse ; plus σ est petit, plus elle est étroite et haute.
- L’aire totale sous la courbe vaut 1 : une probabilité est une aire sous la courbe.
- La courbe ne touche jamais l’axe horizontal, mais elle s’en approche très vite.
La moyenne et l’écart-type sont définis dans la fiche moyenne, médiane et écart-type.
La règle 68-95-99,7
| Intervalle | Probabilité d’y tomber | En dehors |
|---|---|---|
[μ − σ ; μ + σ] | ≈ 68,3 % | ≈ 31,7 % |
[μ − 2σ ; μ + 2σ] | ≈ 95,4 % | ≈ 4,6 % |
[μ − 3σ ; μ + 3σ] | ≈ 99,7 % | ≈ 0,3 % |
[μ − 1,96σ ; μ + 1,96σ] | 95 % exactement (arrondi) | 5 % |
La loi normale centrée réduite
La loi N(0 ; 1), de moyenne 0 et d’écart-type 1, sert de référence. Pour toute variable X de loi N(μ ; σ²), la variable
Z = (X − μ) / σ
suit la loi N(0 ; 1). Cette opération, appelée centrer-réduire, permet d’utiliser une seule table de valeurs (ou la fonction correspondante d’une calculatrice ou d’un tableur). Le nombre Z indique à combien d’écarts-types de la moyenne se trouve une valeur : on l’appelle souvent « score z ».
Pourquoi la loi normale est-elle partout ?
Le théorème central limite l’explique : la somme (ou la moyenne) d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes de même loi, quelle que soit cette loi (pourvu qu’elle ait une variance finie), suit approximativement une loi normale.
Conséquences :
- les erreurs de mesure, qui cumulent de multiples petites perturbations, sont à peu près normales ;
- la moyenne d’un échantillon suit approximativement une loi normale, ce qui fonde les intervalles de confiance des sondages ;
- la loi binomiale avec un grand nombre d’essais ressemble à une loi normale (théorème de Moivre-Laplace).
Histoire
Abraham de Moivre obtient la courbe en 1733 comme approximation de la loi binomiale. Pierre-Simon de Laplace et Carl Friedrich Gauss la développent au début du XIXe siècle, Gauss l’utilisant pour la théorie des erreurs en astronomie (1809) ; d’où le nom de « courbe de Gauss ». Adolphe Quetelet l’applique dans les années 1830-1840 aux caractéristiques humaines (taille, tour de poitrine des soldats). Le portrait de Gauss et la courbe figuraient sur l’ancien billet allemand de 10 marks.
Les limites
Toutes les grandeurs ne sont pas normales. Les revenus, la taille des villes, les fortunes ou l’ampleur des krachs boursiers suivent des lois asymétriques ou à « queue épaisse », où les valeurs extrêmes sont bien plus fréquentes que ne le prévoit la loi normale. Appliquer la loi normale à ces phénomènes conduit à sous-estimer gravement les risques. Une loi normale admet aussi, en théorie, des valeurs négatives : pour une taille, c’est une approximation, valable seulement loin de zéro.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la courbe de Gauss ?
C’est la courbe en cloche de la loi normale. Elle montre que les valeurs proches de la moyenne sont les plus fréquentes et que les valeurs extrêmes deviennent rapidement rares.
Que signifie la règle 68-95-99,7 ?
Pour une loi normale, environ 68 % des valeurs sont à moins d’un écart-type de la moyenne, 95 % à moins de deux, 99,7 % à moins de trois.
Pourquoi utilise-t-on 1,96 en statistiques ?
Parce que 95 % exactement des valeurs d’une loi normale se trouvent entre μ − 1,96σ et μ + 1,96σ. Ce nombre sert à construire les intervalles de confiance à 95 %.
Le QI suit-il une loi normale ?
Les tests de QI sont étalonnés pour que les scores suivent approximativement une loi normale de moyenne 100 et d’écart-type 15 : environ 95 % de la population a un score entre 70 et 130.