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La valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, toujours positive : |5| = 5 et |−5| = 5. Plus généralement, |a − b| est la distance entre les nombres a et b sur la droite graduée.
Mis à jour le 3 min de lecture
La valeur absolue « efface le signe » d’un nombre. Simple en apparence, elle est l’outil naturel pour parler de distance et d'écart : écart entre une mesure et sa valeur exacte, marge d’erreur, tolérance de fabrication, distance entre deux points d’une droite. Elle est omniprésente en analyse, dans la définition des limites.
Exemples
| x | ∣x∣ | Pourquoi |
|---|---|---|
| 7 | 7 | x positif |
| −7 | 7 | −(−7) = 7 |
| 0 | 0 | — |
| −0,25 | 0,25 | — |
3 − π | π − 3 | car 3 − π < 0 |
√2 − 1 | √2 − 1 | car √2 > 1 |
Attention : −x n’est pas forcément négatif. Si x = −4, −x = 4. La définition |x| = −x pour x négatif donne bien un résultat positif.
La valeur absolue comme distance
|a − b| est la distance entre a et b sur la droite graduée, dans un sens ou dans l’autre : |a − b| = |b − a|.
C’est cette interprétation qui rend faciles les équations et inéquations.
Les propriétés
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Positivité | ∣x∣ ≥ 0, et ∣x∣ = 0 seulement si x = 0 |
| Symétrie | ∣−x∣ = ∣x∣ |
| Produit | ∣xy∣ = ∣x∣ × ∣y∣ |
| Quotient | ∣x/y∣ = ∣x∣ / ∣y∣ (y ≠ 0) |
| Carré | ∣x∣² = x² et √(x²) = ∣x∣ |
| Inégalité triangulaire | ∣x + y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣ |
Le piège classique : √(x²) = |x|, et non x. Pour x = −3, √9 = 3 = |−3|. Voir la racine carrée.
Équations avec valeur absolue
|x − a| = r (avec r > 0) signifie : x est à distance r de a. Il y a deux solutions : x = a − r et x = a + r.
Inéquations avec valeur absolue
| Inéquation (r > 0) | Signification | Solutions |
|---|---|---|
∣x − a∣ < r | x à moins de r de a | ]a − r ; a + r[ |
∣x − a∣ ≤ r | x à au plus r de a | [a − r ; a + r] |
∣x − a∣ > r | x à plus de r de a | ]−∞ ; a − r[ ∪ ]a + r ; +∞[ |
Voir les inéquations pour les méthodes générales.
La fonction valeur absolue
La fonction f(x) = |x| est définie sur ℝ, à valeurs positives.
- Sa courbe a la forme d’un V, avec un sommet en (0 ; 0) : la droite
y = −xà gauche de 0, la droitey = xà droite. - Elle est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Elle est décroissante sur
]−∞ ; 0], croissante sur[0 ; +∞[, de minimum 0. - Elle est continue partout, mais pas dérivable en 0 : la courbe présente un point anguleux (pente −1 à gauche, +1 à droite). C’est l’exemple classique d’une fonction continue non dérivable (voir la continuité et les dérivées).
Erreurs fréquentes
- Écrire
|−x| = x: c’est|x|, qui vaut x seulement si x ≥ 0. - Oublier une solution dans
|x − a| = r: il y en a deux. - Croire que
|x + y| = |x| + |y|. - Écrire
√(x²) = xsans condition.
Questions fréquentes
La valeur absolue peut-elle être négative ?
Non. C’est une distance, donc toujours positive ou nulle. L’équation |x| = −3 n’a pas de solution.
Comment enlever une valeur absolue ?
On étudie le signe de l’expression à l’intérieur : si elle est positive, on enlève les barres ; si elle est négative, on la remplace par son opposé. Par exemple, |x − 2| = x − 2 si x ≥ 2 et 2 − x si x < 2.
Que signifie |a − b| ?
La distance entre les nombres a et b sur la droite graduée, quel que soit leur ordre.
Comment s’appelle la valeur absolue d’un nombre complexe ?
Le module, noté aussi |z| : c’est la distance du point représentant z à l’origine du plan (voir les nombres complexes).