Les polynômes

Les polynômes sont les fonctions les plus simples après les fonctions affines : on n’y utilise que l’addition et la multiplication. Ils servent à modéliser des trajectoires, à approcher des fonctions compliquées, à interpoler des données et à concevoir des courbes en graphisme. La résolution de leurs équations a occupé les mathématiciens pendant des siècles.

Le vocabulaire

Un monôme a un seul terme (7x³), un binôme deux, un trinôme trois. Les expressions 1/x, √x ou 2ˣ ne sont pas des polynômes : les exposants doivent être des entiers naturels. Le polynôme nul (tous coefficients nuls) n’a pas de degré, ou un degré conventionnel −∞.

Les opérations

• Somme : on additionne les termes de même degré. (2x² + 3x − 1) + (x² − 5x + 4) = 3x² − 2x + 3. Le degré de la somme est au plus le plus grand des deux degrés.
• Produit : on développe (voir développer et factoriser). Le degré du produit est la somme des degrés : (x² + 1)(x³ − 2) est de degré 5.
• Égalité : deux polynômes sont égaux (pour tout x) si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients. C’est le principe de l'identification.

Racines et factorisation

Le théorème clé

r est racine de P si et seulement si P(x) se factorise par (x − r) : P(x) = (x − r)Q(x), avec Q de degré n − 1.

Combien de racines ?

Un polynôme de degré n a au plus n racines réelles. Le théorème fondamental de l’algèbre (démontré rigoureusement au XIXe siècle, notamment par Gauss et Argand) affirme qu’il en a exactement n dans les nombres complexes, comptées avec leur multiplicité. Tout polynôme réel se factorise donc en produit de facteurs du premier degré et de trinômes sans racine réelle.

La division euclidienne de polynômes

Comme pour les entiers (voir la division euclidienne), on peut diviser A par B (non nul) : A = BQ + R, avec le degré de R strictement inférieur à celui de B. On la pose comme une division d’entiers, en éliminant à chaque étape le terme de plus haut degré.

Le reste de la division de P par (x − r) vaut P(r).

Résoudre P(x) = 0 : un peu d’histoire

Pour les degrés élevés, on calcule les racines numériquement, par exemple avec la méthode de Newton qui utilise les dérivées.

La fonction polynôme

• Elle est définie, continue et dérivable sur ℝ. La dérivée d’un polynôme de degré n est un polynôme de degré n − 1.
• En ±∞, elle se comporte comme son terme de plus haut degré : 2x³ − 100x² tend vers +∞ quand x tend vers +∞ (voir les limites de fonctions).
• Sa courbe coupe l’axe des abscisses en ses racines réelles.
• Un polynôme de degré impair a toujours au moins une racine réelle (par le théorème des valeurs intermédiaires).

Erreurs fréquentes

• Mal identifier le degré : (x + 1)² − x² vaut 2x + 1, de degré 1, pas 2.
• Oublier des termes nuls lors d’une division posée : écrire x³ + 0x² + 0x − 1.
• Confondre racine et coefficient.
• Penser qu’un polynôme de degré n a toujours n racines réelles : x² + 1 n’en a aucune.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que le degré d’un polynôme ?

La plus grande puissance de x dont le coefficient n’est pas nul. 4x³ − x + 7 est de degré 3.

Comment trouver les racines d’un polynôme ?

On cherche une racine évidente, on factorise par (x − r), puis on recommence avec le quotient. Au degré 2, on utilise le discriminant.

Combien de racines a un polynôme de degré 3 ?

Une, deux ou trois racines réelles distinctes, et toujours au moins une. Dans les complexes, exactement trois avec multiplicité.

Une fonction avec racine carrée peut-elle être un polynôme ?

Non : √x = x^(1/2) a un exposant non entier. Un polynôme ne contient que des puissances entières positives de x.