Sciences · Mathématiques
Les paradoxes mathématiques
Un paradoxe mathématique est un raisonnement apparemment correct qui aboutit à une conclusion absurde ou contraire à l’intuition. Certains révèlent une erreur cachée, d’autres une vérité surprenante.
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Les paradoxes ne sont pas des curiosités en marge des mathématiques : ils en ont souvent provoqué les plus grandes avancées. Le paradoxe de Russell a ébranlé les fondements de la discipline au début du XXe siècle ; ceux de Zénon ont nourri la réflexion sur l’infini pendant deux millénaires ; ceux des probabilités enseignent à se méfier de l’intuition. On peut les classer en trois familles.
Les antinomies logiques
Le paradoxe du menteur
« Cette phrase est fausse. » Si elle est vraie, alors elle est fausse ; si elle est fausse, alors elle est vraie. Ce paradoxe, connu depuis l’Antiquité (sous la forme d’Épiménide le Crétois affirmant que « tous les Crétois sont des menteurs », version qui n’est en fait pas strictement paradoxale), montre les dangers de l'autoréférence. Il a inspiré la démonstration des théorèmes d’incomplétude de Gödel.
Le paradoxe de Russell (1901)
Considérons l’ensemble R de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes. R se contient-il ? S’il se contient, il ne devrait pas ; s’il ne se contient pas, il devrait. Bertrand Russell communique ce paradoxe à Gottlob Frege en 1902, alors que celui-ci achève un ouvrage fondant l’arithmétique sur la théorie des ensembles : tout l’édifice s’effondre.
Sa version populaire est le paradoxe du barbier : dans un village, le barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement eux. Qui rase le barbier ? Ici, la solution est simple : un tel barbier ne peut pas exister. Pour les ensembles, la réponse a été de construire des théories axiomatiques (comme celle de Zermelo-Fraenkel) qui interdisent de former « l’ensemble de tous les ensembles ». Voir la logique mathématique.
Le paradoxe de Berry
« Le plus petit entier qui ne peut pas être défini en moins de vingt mots. » Cette phrase compte moins de vingt mots et définit pourtant cet entier. Le paradoxe montre qu’une notion comme « définissable » doit être précisée rigoureusement.
Les paradoxes de l’infini
| Paradoxe | Énoncé | Ce qu’il révèle |
|---|---|---|
| Galilée (1638) | Il y a autant de carrés parfaits (1, 4, 9, 16…) que d’entiers, bien que les carrés soient une partie des entiers | Un ensemble infini peut être en bijection avec une de ses parties |
| Hôtel de Hilbert | Un hôtel infini complet peut accueillir un nouveau client : chacun se décale d’une chambre | Même idée, mise en scène par David Hilbert |
| Zénon | Achille ne rattraperait jamais la tortue | Une somme infinie peut être finie (voir les paradoxes de Zénon) |
| Trompette de Gabriel | Une surface infinie qui délimite un volume fini | On pourrait la remplir de peinture sans pouvoir la peindre |
| Flocon de Koch | Un périmètre infini autour d’une aire finie | Voir les fractales |
Ces paradoxes sont véridiques : ils obligent à abandonner l’idée que « le tout est plus grand que la partie » pour les ensembles infinis. Voir l’infini en mathématiques.
Le paradoxe de Banach-Tarski (1924)
Stefan Banach et Alfred Tarski ont démontré qu’on peut découper une boule en un nombre fini de morceaux (cinq suffisent) et les réassembler, par de simples déplacements, pour obtenir deux boules identiques à la première. Le résultat est un théorème, mais les morceaux sont des ensembles de points si étranges qu’on ne peut pas leur attribuer de volume. La démonstration utilise l'axiome du choix. Il est impossible de réaliser cette opération avec un objet physique.
Les paradoxes des probabilités
| Paradoxe | Conclusion surprenante |
|---|---|
| Anniversaires | 23 personnes suffisent pour avoir plus d’une chance sur deux d’un anniversaire commun |
| Monty Hall | Changer de porte fait gagner 2 fois sur 3 |
| Simpson | Un traitement meilleur dans chaque groupe peut paraître moins bon au total |
| Saint-Pétersbourg | Un jeu d’espérance infinie que personne ne paierait cher (voir l'espérance) |
| Bertrand (1889) | « Probabilité qu’une corde tirée au hasard soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit » : 1/2, 1/3 ou 1/4 selon la façon de tirer la corde |
| Faux positifs | Un test fiable à 99 % peut se tromper la plupart du temps quand il est positif (voir le théorème de Bayes) |
Le paradoxe de Bertrand montre que « au hasard » n’a pas de sens tant que l’on n’a pas précisé la méthode de tirage.
Les fausses démonstrations
Les paradoxes falsidiques reposent sur une erreur dissimulée.
D’autres fausses preuves utilisent une racine carrée mal maniée (√(x²) = x n’est vrai que si x est positif) ou une figure inexacte, comme le célèbre « puzzle » où un carré découpé semble gagner une case une fois réassemblé.
Les paradoxes du vague
Le paradoxe du tas (ou sorite) : un grain de sable n’est pas un tas ; ajouter un grain à ce qui n’est pas un tas ne fait pas un tas ; donc un million de grains ne font pas un tas. Il touche à la logique des notions floues et a donné lieu à la logique floue, utilisée en automatique.
Questions fréquentes
Quel est le paradoxe mathématique le plus célèbre ?
Les plus connus sont ceux de Zénon (Achille et la tortue), le paradoxe du menteur, le paradoxe de Russell et, en probabilités, le problème de Monty Hall.
Un paradoxe signifie-t-il que les mathématiques sont contradictoires ?
Non. La plupart des paradoxes révèlent une erreur ou une intuition trompeuse. Les antinomies comme celle de Russell ont conduit à reconstruire les fondements de façon à éviter les contradictions connues.
Le paradoxe de Banach-Tarski est-il vrai ?
C’est un théorème démontré dans le cadre usuel des mathématiques (avec l’axiome du choix). Il ne s’applique pas à la matière réelle, faite d’atomes, et les morceaux en jeu n’ont pas de volume définissable.
Qu’est-ce que le paradoxe du barbier ?
Une version imagée du paradoxe de Russell : un barbier qui raserait exactement ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes ne peut ni se raser ni ne pas se raser. Conclusion : un tel barbier n’existe pas.