Sciences · Mathématiques
La démonstration mathématique
Une démonstration est un enchaînement de déductions logiques qui établit la vérité d’un énoncé à partir d’axiomes et de résultats déjà prouvés. Une fois démontré, un théorème est vrai pour toujours.
Mis à jour le 5 min de lecture
Ce qui distingue les mathématiques de toutes les autres sciences, c’est la démonstration. Un physicien confirme une loi par l’expérience, et une nouvelle expérience peut la remettre en cause. Un mathématicien prouve un théorème, et ce théorème ne sera jamais réfuté : le théorème de Pythagore est aussi vrai aujourd’hui qu’il y a 2 500 ans. Cette fiche présente le vocabulaire, des démonstrations complètes rédigées, et des conseils pour écrire une preuve. Les principes logiques (implication, contraposée, quantificateurs) sont expliqués dans la fiche logique mathématique.
Le vocabulaire
| Terme | Sens |
|---|---|
| Axiome | Énoncé admis sans démonstration, point de départ d’une théorie |
| Définition | Précise le sens d’un mot nouveau |
| Théorème | Énoncé important démontré |
| Proposition | Énoncé démontré, de moindre importance |
| Lemme | Résultat intermédiaire, démontré pour servir à une autre preuve |
| Corollaire | Conséquence immédiate d’un théorème |
| Conjecture | Énoncé que l’on croit vrai mais qui n’est pas démontré |
| Contre-exemple | Cas particulier qui prouve qu’un énoncé général est faux |
Une conjecture peut rester ouverte des siècles : le grand théorème de Fermat, énoncé vers 1637, n’a été démontré qu’en 1994 par Andrew Wiles.
Vérifier n’est pas démontrer
Constater qu’une propriété est vraie dans de nombreux cas ne prouve rien. L’expression n² + n + 41 donne un nombre premier pour n = 0, 1, 2, … jusqu’à 39 : 40 cas de suite. Pourtant, pour n = 40, elle vaut 1 681 = 41², qui n’est pas premier. Un énoncé « pour tout n » exige une preuve valable pour tous les n.
Exemples de démonstrations rédigées
Démonstration directe
Démonstration par disjonction de cas
Démonstration par l’absurde
Le même schéma prouve qu’il existe une infinité de nombres premiers (Euclide) ou que √2 est irrationnel.
Démonstration par récurrence
La récurrence fonctionne comme une rangée de dominos : le premier tombe, et chacun fait tomber le suivant.
Démonstration par contre-exemple
Démonstration constructive et existence
Pour prouver qu’un objet existe, on peut le construire explicitement, ou démontrer son existence sans le donner (preuve non constructive). Exemple célèbre : il existe deux nombres irrationnels a et b tels que a^b soit rationnel. On considère √2^√2 : s’il est rationnel, on a la réponse ; sinon, (√2^√2)^√2 = √2² = 2 est rationnel. Dans les deux cas l’existence est prouvée, sans savoir lequel des deux cas est le bon.
Bien rédiger une démonstration
- Écrire clairement les hypothèses et ce que l’on veut démontrer.
- Introduire chaque objet : « Soit n un entier pair », « Il existe k tel que… ».
- Justifier chaque étape par une définition, une propriété ou un théorème cité.
- Utiliser les connecteurs : « donc », « or », « d’après », « par conséquent ».
- Annoncer la méthode : « Raisonnons par l’absurde », « Montrons par récurrence ».
- Conclure en reprenant l’énoncé.
Le schéma « On sait que… Or… Donc… » des démonstrations de géométrie au collège en est la forme la plus simple.
Une très longue histoire
La démonstration naît en Grèce : Thalès et Pythagore sont crédités des premières preuves, mais c’est Euclide, vers 300 av. J.-C., qui organise dans les Éléments toute la géométrie à partir de définitions, de postulats et de notions communes. Ce modèle axiomatique est resté la norme. À la fin du XIXe siècle, David Hilbert refonde la géométrie sur des axiomes complets (1899), et les logiciens formalisent la notion même de preuve. En 1931, Kurt Gödel montre que certaines vérités échappent à toute preuve dans un système donné (voir les théorèmes d’incomplétude).
Preuves par ordinateur et preuves formelles
Certaines démonstrations nécessitent des calculs impossibles à la main, comme celle du théorème des quatre couleurs (1976). Des assistants de preuve (Coq, désormais appelé Rocq, Lean, Isabelle) vérifient chaque étape d’une démonstration écrite dans un langage formel. En 2014, l’équipe de Thomas Hales a ainsi achevé la vérification formelle de sa preuve de la conjecture de Kepler sur l’empilement des sphères.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un théorème et une conjecture ?
Un théorème est démontré ; une conjecture ne l’est pas encore. Quand une conjecture est prouvée, elle devient un théorème.
Un exemple suffit-il à démontrer une propriété ?
Non, pour une propriété générale. Des exemples permettent de la tester ; un seul contre-exemple suffit en revanche à prouver qu’elle est fausse.
Comment savoir quelle méthode de démonstration utiliser ?
Pour un énoncé sur tous les entiers, on pense à la récurrence. Pour une impossibilité ou une non-existence, à l’absurde. Pour réfuter, au contre-exemple. Quand peu de cas sont possibles, à la disjonction de cas.
Que signifie CQFD ?
« Ce qu’il fallait démontrer », traduction du latin quod erat demonstrandum (QED). On l’écrit à la fin d’une démonstration, ou l’on trace un petit carré.