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Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : a² + b² = c². Il permet de calculer une longueur ou de vérifier un angle droit.
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Le théorème de Pythagore est sans doute le résultat le plus célèbre de la géométrie. Il relie les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle et sert chaque jour aux maçons, aux charpentiers, aux géomètres et aux programmeurs de jeux vidéo. Avec le théorème de Thalès, c’est l’un des deux grands théorèmes de géométrie étudiés au collège. Il porte le nom du philosophe grec Pythagore de Samos (VIe siècle av. J.-C.), mais la relation était connue bien avant lui.
La formule
En notant a et b les côtés de l’angle droit (les cathètes) et c l’hypoténuse :
a² + b² = c²
D’où :
- pour trouver l’hypoténuse :
c = √(a² + b²); - pour trouver un côté de l’angle droit :
a = √(c² − b²).
Exemples de calcul
La réciproque : prouver qu’un triangle est rectangle
Si, dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle.
Méthode : on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare.
La contraposée permet de montrer qu’un triangle n’est pas rectangle : si l’égalité n’est pas vérifiée, il ne l’est pas. Plus précisément, si c² < a² + b², l’angle opposé à c est aigu ; si c² > a² + b², il est obtus.
La règle du 3-4-5 des maçons
Pour tracer un angle droit sur un chantier, on mesure 3 m sur un côté, 4 m sur l’autre, et on ajuste jusqu’à ce que la distance entre les deux extrémités soit de 5 m. Comme 3² + 4² = 5², l’angle est droit. Les arpenteurs égyptiens utilisaient, dit-on, une corde à 13 nœuds dans le même but, mais cette pratique n’est pas attestée par des sources de l’époque.
Les triplets pythagoriciens
Ce sont des triplets de nombres entiers (a, b, c) qui vérifient a² + b² = c².
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
En multipliant un triplet par un même entier, on en obtient un autre : (6, 8, 10), (9, 12, 15). La formule d’Euclide les engendre tous : pour deux entiers m > n > 0, a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n².
La tablette babylonienne Plimpton 322, datée d’environ 1800 av. J.-C., contient une liste de ces triplets, plus d’un millénaire avant Pythagore.
Une démonstration simple
Il existe plusieurs centaines de démonstrations. La plus visuelle utilise un grand carré de côté (a + b) :
- On place quatre triangles rectangles identiques (côtés a, b, c) dans les coins du grand carré, de sorte qu’ils laissent au centre un carré incliné de côté c.
- L’aire du grand carré vaut
(a + b)² = a² + 2ab + b². - Elle vaut aussi l’aire des quatre triangles plus celle du petit carré :
4 × (ab/2) + c² = 2ab + c². - En égalant :
a² + 2ab + b² = 2ab + c², donca² + b² = c².
Euclide en donne une démonstration classique dans le livre I des Éléments (proposition 47), vers 300 av. J.-C.
Pythagore dans l’espace et en repère
- Distance entre deux points du plan A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂) :
AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). C’est le théorème de Pythagore appliqué aux écarts horizontaux et verticaux. - Diagonale d’un pavé droit de dimensions L, l, h :
d = √(L² + l² + h²). Pour un cube de côté a :d = a√3.
Généralisations
- Loi des cosinus (Al-Kashi) pour un triangle quelconque :
c² = a² + b² − 2ab × cos(γ), où γ est l’angle opposé à c. Si γ = 90°, cos γ = 0 et on retrouve Pythagore. Voir la trigonométrie. - Grand théorème de Fermat : l’équation
aⁿ + bⁿ = cⁿn’a aucune solution en entiers strictement positifs pour n ≥ 3. Énoncé par Pierre de Fermat vers 1637, il a été démontré par Andrew Wiles en 1994 (publication en 1995). Voir les grands mathématiciens.
Questions fréquentes
Quand utiliser le théorème de Pythagore ou sa réciproque ?
Le théorème sert à calculer une longueur quand on sait que le triangle est rectangle. La réciproque sert à démontrer qu’un triangle est rectangle quand on connaît ses trois longueurs.
Le théorème de Pythagore fonctionne-t-il pour tous les triangles ?
Non, uniquement pour les triangles rectangles. Pour un triangle quelconque, on utilise la loi des cosinus, qui le généralise.
Pythagore a-t-il vraiment découvert ce théorème ?
La relation était connue des Babyloniens vers 1800 av. J.-C. et apparaît dans des textes indiens et chinois anciens. On attribue à l’école pythagoricienne la première démonstration générale, mais aucun écrit de Pythagore ne nous est parvenu.
Comment trouver l’hypoténuse sans calculatrice ?
Si les côtés forment un triplet connu (3-4-5, 5-12-13 ou leurs multiples), le résultat est entier. Sinon, on encadre la racine carrée : √50 est entre 7 (√49) et 8 (√64), proche de 7,07.