Les mathématiques arabes

L’expression « mathématiques arabes » désigne les travaux écrits en langue arabe, langue savante d’un immense espace allant de l’Espagne à l’Asie centrale, par des savants arabes, persans, berbères, juifs ou chrétiens. Pendant six siècles, ce foyer a été le plus actif du monde en mathématiques. Il ne s’est pas contenté de conserver la science grecque : il a créé des disciplines nouvelles, dont l'algèbre. Le contexte historique est présenté dans la fiche âge d’or islamique.

Une science de synthèse

À partir de la fin du VIIIe siècle, à Bagdad, les califes abbassides encouragent un vaste mouvement de traduction : Euclide, Archimède, Apollonius, Ptolémée, Diophante sont traduits du grec (souvent via le syriaque), tandis que les tables astronomiques et le calcul indiens arrivent par le sanskrit et le persan. Les mathématiciens de langue arabe réunissent ainsi deux traditions : la démonstration grecque et le calcul indien. Leur fusion donne naissance à des mathématiques nouvelles.

Les grandes figures

La biographie du principal d’entre eux est présentée dans la fiche al-Khwarizmi ; celle du physicien de l’optique dans la fiche Ibn al-Haytham.

L’algèbre

Vers 820, al-Khwarizmi rédige Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala (« Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison »). Le mot al-jabr, « restauration », désigne l’opération qui fait passer un terme soustrait de l’autre côté de l’égalité ; il est devenu « algèbre ». Al-muqabala consiste à réduire les termes semblables.

L’innovation est profonde : l’algèbre devient une discipline autonome, qui traite de classes d’équations en général et non plus de problèmes isolés. Tout s’écrit en mots, sans symboles ; les notations symboliques n’apparaîtront qu’en Europe aux XVIe et XVIIe siècles. Al-Karaji et ses successeurs étendent les calculs aux polynômes de degré quelconque ; al-Samaw’al (XIIe siècle) les mène plus loin encore. Voir les équations.

Omar Khayyam et le troisième degré

Le poète des Rubaiyat est aussi un grand mathématicien. Dans son Traité d’algèbre (vers 1070), Omar Khayyam classe les équations du troisième degré en 14 types non réductibles et les résout géométriquement, par l’intersection de deux coniques (cercle, parabole, hyperbole). La solution par formules ne viendra qu’au XVIe siècle, en Italie.

La trigonométrie

Héritée de l’astronomie grecque (cordes) et indienne (sinus), la trigonométrie est transformée par les savants de langue arabe :

• introduction systématique du sinus, du cosinus, de la tangente et des autres fonctions ;
• tables de valeurs de plus en plus précises ;
• formules de trigonométrie sphérique, indispensables pour l’astronomie et pour déterminer la direction de La Mecque (la qibla) depuis n’importe quel lieu ;
• avec al-Tusi, au XIIIe siècle, la trigonométrie devient une discipline indépendante de l’astronomie.

Le mot « sinus » lui-même vient d’une chaîne de traductions : le sanskrit jya (corde) devient en arabe jiba, écrit sans voyelles, puis lu jayb (« repli, poche ») et traduit en latin par sinus.

Arithmétique et calcul

• Diffusion du calcul indien en numération décimale de position, avec le zéro (voir l'origine des chiffres arabes et l'histoire du zéro).
• Fractions décimales : elles apparaissent chez al-Uqlidisi (Xe siècle) et sont systématisées par al-Kashi en 1427, plus d’un siècle et demi avant Simon Stevin en Europe.
• Calcul de π : al-Kashi obtient vers 1424 la valeur de 2π avec 16 décimales exactes, record mondial pendant environ 170 ans (voir le nombre π).
• Le triangle des coefficients binomiaux, connu en Europe sous le nom de triangle de Pascal, est décrit par al-Karaji et al-Samaw’al.

La géométrie et le postulat des parallèles

Ibn al-Haytham, Omar Khayyam et al-Tusi tentent de démontrer le cinquième postulat d’Euclide. Leurs tentatives échouent, mais elles explorent des quadrilatères dont les angles ne sont pas droits et anticipent des résultats retrouvés en Europe au XVIIIe siècle. Le problème ne sera résolu qu’avec les géométries non euclidiennes au XIXe siècle.

La transmission à l’Europe

Au XIIe siècle, à Tolède et en Sicile, des traducteurs comme Gérard de Crémone et Robert de Chester traduisent en latin les traités arabes, dont l’algèbre d’al-Khwarizmi (1145). L’Europe redécouvre ainsi Euclide et Ptolémée, et découvre l’algèbre et le calcul indien. Plusieurs mots en témoignent : algèbre, algorithme, chiffre et zéro (de sifr, « vide »). Voir les mots français d’origine arabe.

Questions fréquentes

Les Arabes ont-ils inventé les mathématiques ?

Non, mais ils ont créé l’algèbre comme discipline, transformé la trigonométrie et fait progresser le calcul. Ils ont aussi conservé, commenté et transmis l’héritage grec et indien.

Les chiffres arabes ont-ils été inventés par les Arabes ?

Non. Ils sont d’origine indienne. Les savants de langue arabe les ont adoptés et diffusés, et c’est par eux que l’Europe les a connus, d’où leur nom.

Pourquoi parle-t-on de mathématiques « arabes » si beaucoup de savants étaient persans ?

Parce que la langue scientifique commune était l’arabe. Les historiens parlent aussi de « mathématiques en pays d’Islam » ou de « mathématiques de langue arabe ».

Qu’est-ce que la Maison de la sagesse ?

Une institution de Bagdad, active au IXe siècle sous les califes abbassides, associée au mouvement de traduction et aux travaux de savants comme al-Khwarizmi. Voir l'âge d’or islamique.