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Les géométries non euclidiennes
Une géométrie non euclidienne abandonne le cinquième postulat d’Euclide sur les parallèles. En géométrie sphérique, il n’existe aucune parallèle ; en géométrie hyperbolique, il en existe une infinité.
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Pendant plus de deux mille ans, la géométrie d'Euclide a été considérée comme la description unique et nécessaire de l’espace. Au XIXe siècle, plusieurs mathématiciens montrent qu’on peut construire d’autres géométries, tout aussi cohérentes, en modifiant un seul axiome : le postulat des parallèles. Ces géométries, d’abord jugées abstraites, se sont révélées indispensables pour décrire la surface de la Terre et la structure de l’Univers.
Le problème du cinquième postulat
Les quatre premiers postulats des Éléments sont simples (tracer une droite entre deux points, prolonger un segment, tracer un cercle, tous les angles droits sont égaux). Le cinquième, plus long et moins évident, a semblé à de nombreux mathématiciens devoir être une conséquence des autres. De Ptolémée à Saccheri (1733) en passant par des savants arabes comme Omar Khayyam et Nasir al-Din al-Tusi, beaucoup ont tenté de le démontrer. Tous ont échoué, et pour cause : il est indépendant des autres axiomes.
Trois géométries comparées
| Propriété | Euclidienne (plane) | Sphérique (elliptique) | Hyperbolique |
|---|---|---|---|
| Parallèles à une droite par un point | Exactement 1 | Aucune | Une infinité |
| Somme des angles d’un triangle | = 180° | > 180° | < 180° |
| Courbure | Nulle | Positive | Négative |
| Périmètre d’un cercle de rayon r | 2πr | < 2πr | > 2πr |
| Modèle | Feuille plane | Surface d’une sphère | Selle de cheval, disque de Poincaré |
| Triangles semblables de tailles différentes | Oui | Non | Non |
Dans les géométries courbes, l’aire d’un triangle est liée à l’écart entre la somme de ses angles et 180° : deux triangles de mêmes angles ont forcément la même aire. Voir la somme des angles d’un triangle.
La géométrie sphérique
Sur une sphère, le plus court chemin entre deux points est un arc de grand cercle (un cercle dont le centre est celui de la sphère, comme l’équateur ou un méridien). Ces grands cercles jouent le rôle de droites. Deux grands cercles se coupent toujours en deux points opposés : il n’existe donc aucune parallèle.
C’est la géométrie de la navigation aérienne et maritime : la route la plus courte entre Paris et Tokyo passe au-dessus de la Sibérie, ce qui paraît étrange sur une carte plane (voir les projections cartographiques).
La géométrie hyperbolique
Découverte indépendamment par le Russe Nikolaï Lobatchevski (publication en 1829) et le Hongrois János Bolyai (1832), elle avait aussi été entrevue par Carl Friedrich Gauss, qui n’avait rien publié. Par un point extérieur à une droite passent une infinité de droites qui ne la rencontrent pas.
On la représente par des modèles : le disque de Poincaré, où les droites sont des arcs de cercle perpendiculaires au bord du disque, et où des figures identiques paraissent de plus en plus petites en s’approchant du bord. Les gravures Limite circulaire de M. C. Escher s’en inspirent. Dans la nature, les feuilles de laitue frisée, certains coraux et les éponges ont des formes proches de surfaces hyperboliques : elles « ont trop de surface » pour être aplaties.
Riemann et la courbure
En 1854, Bernhard Riemann généralise ces idées : il conçoit des espaces de dimension quelconque dont la courbure peut varier d’un point à l’autre. La géométrie euclidienne n’est plus qu’un cas particulier, celui de la courbure nulle. En 1868, Eugenio Beltrami montre que la géométrie hyperbolique est aussi cohérente que la géométrie euclidienne : si l’une contenait une contradiction, l’autre aussi.
L’Univers est-il euclidien ?
La relativité générale d’Albert Einstein (1915) repose sur la géométrie de Riemann : la gravitation n’y est pas une force, mais une courbure de l’espace-temps causée par la masse et l’énergie. La lumière d’une étoile est déviée en passant près du Soleil, comme l’a confirmé l’éclipse de 1919.
À grande échelle, les mesures du rayonnement fossile indiquent que la courbure moyenne de l’Univers observable est très proche de zéro : l’espace y paraît euclidien, aux incertitudes de mesure près. Voir l'univers observable.
Portée philosophique
La découverte des géométries non euclidiennes a profondément changé la conception des mathématiques. Les axiomes ne sont plus des vérités évidentes sur le monde, mais des hypothèses de départ librement choisies, dont on étudie les conséquences. Quelle géométrie décrit l’espace physique devient une question expérimentale. Cette évolution a nourri l’axiomatisation de la géométrie par David Hilbert (1899) et la réflexion sur les fondements des mathématiques (voir la logique mathématique).
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une géométrie non euclidienne, simplement ?
Une géométrie où l’on change la règle des parallèles. Sur une sphère, deux « droites » se croisent toujours ; dans un espace hyperbolique, une infinité de droites ne rencontrent jamais une droite donnée.
Qui a inventé la géométrie non euclidienne ?
Lobatchevski et Bolyai, indépendamment, autour de 1830, pour la géométrie hyperbolique ; Gauss y avait réfléchi sans publier. Riemann a généralisé le cadre en 1854.
La géométrie d’Euclide est-elle fausse ?
Non. Elle est cohérente et parfaitement adaptée aux échelles humaines. Elle n’est simplement pas la seule possible, et l’espace physique n’est pas exactement euclidien en présence de fortes masses.
Le GPS utilise-t-il la géométrie non euclidienne ?
Le GPS doit corriger les horloges des satellites selon la relativité restreinte et générale, qui repose sur une géométrie courbe de l’espace-temps. Sans ces corrections, l’erreur de position s’accumulerait de plusieurs kilomètres par jour.